ALJABAR PROPOSISI

A. Pengertian Logika
logika adalah ilmu berpikir dan menalar dengan benar. Ditinjau dari perkembanganya logika merupakan salah satu cabang filsafat yang mempelajari aturan-aturan cara menalar yang benar

B. Pentingnya belajara Logika
belajar Logika(Logika Simbolik) dapat meningkatkan kemampuan menalar kita, karena dengan belajar logika:

1. Kita mengenali dan menggunakan bentuk-bentuk umum tertentu dari cara penarikan konklusi yang absah, dan menghindari kesalahan-kesalahan yang biasa dijumpai
2. Kita dapat memperpanjang rangkaian  penalaran itu untuk menyelesaikan problem-problem yang lebih komplek

Segi teoritis, belajar logika adalah tidak hanya belajar bagaimana menalar dengan benar, melainkan juga mengenal bentuk-bentuk penarikan kesimpulan yang absah( dan bentuk lainya yang tidak absah).
Dalam melakukan penalaran atau penarikan kesimpulan, kita akan menggunakan beberapa kalimat atau pernyataan dalam prosesnya
Belajar logika adalah belajar berpikir dan menalar dengan benar. Manusia belajar logika sejak jamam yunani kuno, Aristoteles(filsuf atau ahli filsafat) merintis logika tradisional yang disebut dengan analitika dan dialektika
G.W.Leibniz adalah matematikawan pertama yang mempelajari logika simbolis. Kemudian George Boole juga seorang matematikawan berhasil mengembangkan logika simbolik, sehingga logika menjadi ilmu pengetahuan yang luas dan cenderung bersifat teknis dan ilmiah(logika Modern)

C. Kalimat dan pernyataan
sebelum membahas tentang pernyataan akan kita bahas terlebih dahulu apa yang disebut kalimat.
Kalimat adalah rangkaian kata yang di susun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Dalam logika matematika hanya dibicarakan kalimat-kalimat yang berarti menerangkan(kalimat deklaratif) , yang juga disebut pernyataan.
Pernyataan adalah suatu kalimat deklaratif bernilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
Benar atau salahnya pernyataan disebut nilai kebenaran suatu pernyataan itu dan ditentukan oleh realitas yang dinyatakan atau kesepakatan terdahulu.
Logika yang akan kita bahas adalah logika matematik dua nilai, yaitu bernilai benar(B) atau salah(S).
Menurut jenisnya, suatu kalimat secara sederhana dapat dibagi menjadi seperti ini:

Menurut komponen-komponen yang menyusunya, pernyataan dibagi menjadi dua, yaitu:

1. Pernyataan Sederhana
2. Pernyataan Majemuk

Pernyataan yang hanya menyatakan pikiran tunggal dan tidak mengandung kata hubung kaimat disebut pernyataan sederhana atau pernyataan primer atau pernyataan atom, sedangkan pernyataan pernyataan yang terdiri dari satu atau lebih pernyataan sederhana dengan bermacam-macam kata hubung kalimat disebut pernyataan majemuk atau pernyataan komposit.
Nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran yang setiap pernyataan sederhana  yang dikandungnya dan cara menghubungkan pernyataan –pernyataan sederhana itu, dan bukan oleh ketertarikan isi pernyataan-pernyataan sederhana tersebut. Dalam logika matematika suatu pernyataan umumnya disimbolkan dengan huruf kecil, Contoh : p, q, r,. . .  . , dan seterunya. Sedangkan nilai benar disimbolkan “B” atau “1(satu)” dan nilai salah disimbolkan dengan “S”  atau “nol(0)”.
Contoh
P: 2+3 = 5(B)
Q: Bandung  ibu kota Indonesia(S)

D. Variabel, konstanta, dan parameter
Variabel Adalah simbol yang menunjukan suatu anggota yang belum spesifik adalam semesta  pembicaraan.
Konstanta adalah simbol yang menunjukan anggota tertentu yang sudah spesifik dalam semesta pembicaraan.
Parameter adalah variabel penghubung antara beberapa variabel.
Perhatikan contoh kalimat matematika berikut :
Contoh 1:
5 + x = 7. Pada kalimat tersebut 5 dan 7 adalah konstanta , sedangkan x adalah variabel.
Contoh 2:
X = r cos t, y = r sin t, x²+y²=r². Pada contoh tersebut x dan y adalah variabel-variabel, dan t adalah variabel penghubung antara x dan y, dan t adalah parameter, sedankan r adalah konstanta.
E. Kalimat terbuka dan kalimat tertutup
Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengndung variabel. Jika variabel tersebut diganti dengan konstanta dalam semesta yang sesuai, maka kalimat itu akan menjadi kalimat yang bernilai benar saja atau bernilai salah saja(pernyataan). Kita juga dapat menyatakan bahwa kelimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenaranya.
Dalam matematika, kalimat terbuka bisa berbentuk persamaan(kalimat matematika yang masih menggunakan variabel dan menggunakan tanda ≠,<,>, ≥ atau ≤)
Contoh :

1. x+3 = 9, kalimat terbuka berbentuk persamaan.
2. x²-3 < 6, kalimat terbuka yang berbentuk pertidaksamaan

Kalimat tertutup adalah kalimat yang tidak mengadung variabel. Jadi, kita bahwa kalimat tertutup adalah kalimat yang sudah dapat ditentukan nilai kebenaranya(Benar atau Salah).
Dalam matematika, kalimat tertutup bisa berbentuk kesamaan( kalimat matematika yang tidak mengadung variabel dan menggunakan tanda “=”) atau berbentuk ketidaksamaan(kalimat matematika yang tidak mengandung variabel dan menggunakan tanda ≠,<,>, ≥ atau ≤)
Contoh :

1. 3 + 5 = 8, kalimat tertutup yang berbentuk kesamaan, yang bernilai salah
2. 4²+3≥12, kalimat tertutup yang berbentuk ketidaksamaan, yang bernilai benar.
3. Surabaya ibu kota jawa timur, kalimat tertutup yang bernilai benar
4. Kerajaan singosari tertletak di jawa tengah, kalimat tertutup yang bernilai salah

Dalam logika, dikenal beberapa kata penghubung kalimat untuk membentuk pernyataan majemuk yang berasal dari satu atau lebih pernyataan sederhana.
Ada 5 macam kata penghubung dalam logika yaitu, negasi, konjungsi, disjungsi, kondisional, dan bikondisional.
Berikut masing-masing pembahasan kata hubung kalimat tersebut :

F. Negasi( Ingkaran atau penyangkalan atau peniadaan)
Negasi suatu pernyataan adalah pernyataan yang bernilai salah jika pernyataan semula benar, dan bernilai benar jika pernyataan semula bernilai salah.
Negasi pernyataan p disimbolkan dengan ~p, dan dibaca negasi p.
Contoh :

1. P: paris ada diperancis(B)
   ~p: paris tidak ada di perancis(S)
2. P: 2+3 = 7(S)
   ~p: 2+3≠7(B)
3. P: candi borobudur terletak di pulau jawa(B)
~p : candi borobudur tidak terletak dipulau jawa(S)

Berdasarkan pembahasan diatas, kita dapat membuat tabel kebenaran untuk negasi sebagai berikut:

P	~p
B	S
S	B

G. Konjungsi
konjungsi adalah dua pernyataan  yang dihubungkan dengan kata “dan”  yang merupakan penyataan majemuk. Konjungsi penyataan p dan q ditulis p^q dibaca p dan q.
contoh:
1. Paris ada di Prancis dan 2+2=4
2. Paris ada di Prancis dan 2+2=5
3. Paris ada di Inggris dan 2+2=4
4. Paris ada di Inggris dan 2+2=5
Dari empat pernyataan tersebut, yang benar hanya nomer 1
Berdasarkan pembahasan diatas, kita dapat membuat tabel kebenaran untuk konjungsi sebagai berikut :

P	q	p^q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

H. Disjungsi
disjungsi adalah dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata “atau” yang merupakan pernyataan majemuk. Disjungsi pernyataan p dan q ditulis p V q dibaca p atau q
Contoh :
1. Paris ada di Prancis atau 2+2=4
2. Paris ada di Prancis atau 2+2=5
3. Paris ada di Inggris atau 2+2=4
4. Paris ada di Inggris atau 2+2=5
Dari empat pernyataan tersebut yang salah hanya nomer 4
Berdasarkan pembahasan diatas, kita dapat membuat tabel kebenaran untuk disjungsi sebagai berikut:

P	Q	pVq
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

I. Kondisional( implikasi atau penyataan bersyaraat)
Kondisional adalah kalimat pernyataan yang berbentuk “ jika .... maka ...” kondisional suatu pernyataan p dan q ditulis p --> q dibaca p maka q
Contoh :
1. Jika Paris ada di Prancis, maka 2+2=4(B)
2. Jika Paris ada di Prancis,  maka 2+2=5(S)
3. Jika Paris ada di Inggris,  maka 2+2=4(B)
4. Jika Paris ada di Inggris, maka 2+2=5(B)
Dari empat pernyataan tersebut, yang salah hanya nomer 2, dan yang lainya benar. Kita dapat membuat tabel untuk kondisional sebagai berikut :

P	q	P → q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

J. Bikondisional( Biimplikasi)
Bikondisional adalah kalimat pernyataan  yang berbentuk “ .. jika dan hanya jika ... “
Binkondisional suatu pernyataan p dan q ditulis  p <-->  q dibaca p  jika dan hanya jika q, atau p bila dan hanya bila q
Contoh :

1. Paris ada di Prancis, jika dan hanya jika 2 + 2 = 4 (B)
2. Paris ada di Prancis, Jika dan hanya jika 2+2 = 5(S)
3. Paris ada di Inggris, jika dan hanya jika 2+2=4(S)
4. Paris ada di Inggris, jika dan hanya jika 2+2=5(B)

Dari empat pernyataan tersebut, yang benar pernyataan nomer 1 dan 4, dan yang lailnya salah.
Perdasarkan pembahasan diatas, kita dapat membuat tabel kebenaran untuk bikondisional sebagai berikut :

P	q	p ↔ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Aljabar Proposisi Selanjutnya>>>