Kriptografi

Hubungan Teori bilangan Dengan Algoritma

"KONSEP MODULO DALAM ALGORITMA CHAESAR CHIPPER"

Caesar cipher adalah algoritma cipher substitusi yang menggunakan konsep pergeseran  huruf  dengan  modulo  26. Secara  matematis  dapat  dirumuskan  sebagai berikut S= (T+K) Modulo 26. S= Teks Sandi  T= Teks Terang  K=Kunci. Algoritma ini biasanya  digunakan  untuk proses enkripsi suatu informasi  yang bersifat khusus atau rahasia pada zaman romawi.

Dalam  kriptografi,  sandi  Caesar,  atau  sandi  geser,  kode  Caesar  atau  Geseran Caesar adalah salah satu teknik enkripsi paling sederhana dan paling terkenal. Sandi ini termasuk sandi substitusi dimana setiap huruf pada teks terang (plaintext) digantikan oleh huruf lain yang memiliki selisih posisi tertentu dalam alfabet. Pada Caesar cipher, tiap huruf disubtitusi dengan huruf ketiga berikutnya dari susunan alphabet yang sama. Dalam hal ini kuncinya adalah pergeseran  huruf (yaitu 3). Susunan alphabet  setelah digeser sejauh 3 huruf membentuk sebuah table substitusi sebagai berikut:

Alfabet Biasa: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Alfabet Sandi: D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

Untuk menyandikan sebuah pesan, cukup mencari setiap huruf yang hendak disandikan di alfabet biasa, lalu tuliskan huruf yang sesuai pada alfabet sandi. Untuk memecahkan sandi tersebut gunakan cara sebaliknya. Contoh penyandian sebuah pesan adalah sebagai berikut.

Teks Terang    :   JANGAN MENDEKATI BLOK  D
Teks Sandi      :    MDQJD  QPHQG  HNDWL  EORNG

Dengan mengkodekan setiap huruf alfabet dengan integer : ‘A’= 0 , ‘B’= 1,…, ‘Z’= 25, maka secara matematis pergeseran 3 huruf alfabetik ekivalen dengan melakukan operasi modulo terhadap plainteks P menjadi cipherteks C dengan persamaan

C = E ( P ) = ( P + 3 ) mod 26                                                                          
Karena ada 26 huruf didalam alphabet. Penerima pesan mengembalikan lagi cipherteks dengan operasi kebalikan, secara matematis dapat dinyatakan dengan persamaan
P = D ( C ) = ( C - 3 ) mod 26                                                                           
Dapat diperhatikan bahwa fungsi D adalah balikan (invers) dari fungsi E , yaitu :
D ( C ) = E-1 ( P )                                                                                              

Penggunaan   dari   Caesar   cipher   ini   dapat   dimodifikasi   dengan   mengubah jumlah   gesaran    (bukan    hanya   3)   dan   juga   arah   geseran.    Jadi   kita   dapat menggunakan    Caesar    cipher    dengan    geser    7    ke    kiri,    misalnya.    Hal    ini dilakukan   untuk   lebih   menyulitkan   orang   yang   ingin   menyadap   pesan   sebab dia harus mencoba semua kombinasi (26 kemungkinan geser).

Salah  satu  pengembangan  dari Caesar  cipher  adalah  ROT13.  Pada  sistem  ini sebuah huruf digantikan dengan huruf yang letaknya 13 posisi darinya. Sebagai contoh, huruf “A” digantikan dengan huruf “N”, huruf “B” digantikan dengan huruf “O”, dan seterusnya. Secara matematis, hal ini dapat dituliskan sebagai:

C = ROT13 ( M)                                                                                                  

Untuk   mengembalikan    kembali   ke   bentuk   semulanya    dilakukan   proses enkripsi ROT13 dua kali.
M = ROT13 ( ROT13 (M))        

                                                                         

ROT13 memang tidak didesain untuk keamanan tingkat tinggi. ROT13, misalnya digunakan untuk menyelubungi  isi dari artikel (posting) di Usenet news yang berbau ofensif. Sehingga  hanya orang yang betul-betul ingin membaca dapat melihat isinya. Contoh penggunaan lain adalah untuk menutupi jawaban dari sebuah teka teki (puzzle) atau jika kita ingin marah marah (memaki) akan tetapi ingin agar orang lain tidak tersinggung.  (Orang yang ingin membaca makian kita harus melakukan konversi ROT13 sendiri.)

Cipher dan Matematika

Dasar keilmuan dari Caesar cipher sebagian besar adalah matematika yang antara lain mencakup  teori bilangan,  aljabar dan fungsi. Subbab matematika  tersebut  sudah diajarkan sejak pendidikan sekolah bahkan diperluas lagi di perguruan tinggi.   Rumus Caesar cipher secara umum :

C = E ( P ) = ( P + k) mod 26                                                                          
Dan Fungsi Dekripsi adalah
P = D ( C ) = ( C - k ) mod 26                                                                         
Catatan:

1. Pergeseran 0 sama dengan pergeseran 26(susunan huruf tidak berubah).
2. Pergeseran  lain  untuk  k>25  dapat  juga  dilakukan  namun  hasilnya  akan kongruen dengan bilangan bulat dalam modulo 26. Misalnya k=37 kongruen dengan 11 dalam modulus 26, atau 37 ≡ 11 (mod 26).

Persamaan  di atas menggunakan  subbab matematika  teori bilangan khususnya dengan modulus. Operasi modulus adalah sebuah operasi yang menghasilkan sisa pembagian dari suatu bilangan terhadap bilangan lainnya.

Contoh  modulus :
1 = 7 mod 2
2 = 5 mod 3

Sebenarnya operasi modulus sudah dikenalkan sejak dini hanya saja banyak yang tidak tahu nama operasi tersebut. Selain menggunakan operasi modulus, Caesar cipher juga menggunakan aljabar dalam pengerjaannya. Aljabar dasar, yang mencatat sifat-sifat operasi bilangan riil, menggunakan simbol sebagai "pengganti" untuk menandakan konstanta dan variabel, dan mempelajari aturan tentang ungkapan dan persamaan matematis yang melibatkan simbol-simbol tersebut.

Diketahui       :  r + 3 = 10
Ditanyakan    :  r = ? Penyelesaian :
r + 3 - 3 = 10 - 3
(sama sama dikurangi dengan bilangan yang sama yaitu3)
r = 7
Masih banyak lagi penggunaan matematika dalam Caesar cipher