ALJABAR PROPOSISI

  <<< Aljabar Proposisi Bag 1
K. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
perhatikan suatu implikasi " jika segitiga ABC sama kaki maka kedua sudut segitiga ABC alasnya sama besar".
Jika pernyataan implikasi tersebut bernilai benar, bagaimana nilai kebenaran pernyataan berikut:
      1. jika kedua sudut alas segituga ABC sama besar maka segitiga ABC sama kaki
   2. jika segitiga ABC tidak sama kaki maka kedua sudut alas segitiga ABC tidak sama besar
   3. jika kedua sudut alas segitiga ABC tidak sama besar maka segitiga ABC tidak sama kaki
Bilamana Implikasi " jika segitiga ABC samakaki maka kedua sudut segitiga ABC alasnya sama besar" disimbolkan dalam bentuk p → q maka kalimat 1,2,3 diatas dapat disimbolkan menjadi :
   1. q → p yang disebut konvers dasi implikasi p → q
   2. ~p → ~ q yang disebut invers dari implikasi p → q
   3. ~q → ~p yang disebut kontraposisi dari implikasi p → q

Hubungan antara implikasi konvers, Invers, dan kontraposisi dapat ditunjukan dengan skema berikut :

isi dengan gambar 1

sekarang perhatikan pernyataan "jika 3< 5 , maka -3 > -5". Bagaimana konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan tersebut.

p	q	p →q	q → p	~p → ~q	~q → ~q
B	B	B	B	B	B
B	S	S	B	B	S
S	B	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B

L. Tautologi dan Kontradiksi
   1. Tautologi adalah pernyataan yang selalu bernilai benar, untuk setiap nilai kebenaran komponen-komponennya.
      Contoh :{ (p →q) ∧(q → r)}→ (p →r)

{ (p         →        q)         ∧        (q         →         r)}        →         (p         →        r)
B	B	B	B	B	B	B	B	B	B	B
B	B	B	S	B	S	S	B	B	S	S
B	S	S	S	S	B	B	B	B	B	B
B	S	S	S	S	B	S	B	B	S	S
S	B	B	B	B	B	B	B	S	B	B
S	B	B	S	B	S	S	B	S	B	S
S	S	S	B	S	B	B	B	S	B	B
S	S	S	B	S	B	S	B	S	B	S
1	2	1	3	1	2	1	4	1	2	1

      Jadi pernyataan { (p →q) ∧(q → r)}→ (p →r) adalah sebuah tautologi.
   2. kontradiksi adalah pernyataan yang selalu bernilai salah, untuk setiap nilai kebenaran komponen-komponenya.
        Contoh : ~ [ {( p → q ) ∧(q → r )} → (p → r )]

~[     { (p        →        q)         ∧        (q         →         r)}        →         (p         →        r)]
S	B	B	B	B	B	B	B	B	B	B	B
S	B	B	B	S	B	S	S	B	B	S	S
S	B	S	S	S	S	B	B	B	B	B	B
S	B	S	S	S	S	B	S	B	B	S	S
S	S	B	B	B	B	B	B	B	S	B	B
S	S	B	B	S	B	S	S	B	S	B	S
S	S	S	S	B	S	B	B	B	S	B	B
S	S	S	S	B	S	B	S	B	S	B	S
5	1	2	1	3	1	2	1	4	1	2	1

Jadi, pernyatataan ~ [ {( p → q ) ∧(q → r )} → (p → r )] adalah sebuah kontradiksi.
Kesimpulan, karena sebuah tutologi selalu benar, maka negasi/peniadaan sebuah tautologi selalu salah, yakni merupakan sebuah kontrasiksi dan sebaliknya.
M. Ekivalen(Kesetaraan yang Logis)
      Dua pernyataan dikatakan ekivalen jika dua pernyataan itu mempunyai nilai kebenaran yang sama.
      Peryataan p ekivalen dengan pernyataan q dapat ditulis : " p ≡ q "
      Contoh :
      1. Apakah pernyataan ( p → q ) ∧(q → p ) ekivalen dengan pernyataan p ↔ q?

(p        →        q)         ∧        (q         →         p)       ≡        q     ↔        r
B	B	B	B	B	B	B		B	B	B
B	S	S	S	S	B	B		B	S	S
S	B	B	S	B	S	S		S	S	B
S	B	S	B	S	B	S		S	B	S
1	2	1	3	1	2	1		1	2	1

Jadi, ( p → q ) ∧(q → p ) ≡p ↔ q
      2. Apakah pernyataan p → q ekivalen dengan ~ p ∨ q?

p     →    q     ≡     ~ p     ∨     q
B	B	B		S	B	B
B	S	S		S	S	S
S	B	B		B	B	B
S	B	S		B	B	S
1	2	1		1	2	1

     Jadi p → q ≡ ~ p ∨ q
N. Peniadaan pernyataan
     1. ~(p ∧ q ) ≡~p ∨ ~q ( Hukum DeMorgan )

~    (p      ∧    q  )   ≡     ~p     ∨   ~q
S	B	B	B		S	S	S
B	B	S	S		S	B	B
B	S	S	B		B	B	S
B	S	S	S		B	B	B
3	1	2	1		1	2	1

     2. ~(p ∨q ) ≡~p ∧ ~q ( Hukum DeMorgan )

~    (p      ∨    q  )   ≡   ~p    ∧   ~q
S	B	B	B		S	S	S
S	B	B	S		S	S	B
S	S	B	B		B	S	S
B	S	S	S		B	B	B
3	1	2	1		1	2	1

O. Hukum - Hukum Aljabar Proposisi
Hukum Indepoten
p ∨p ≡p
p ∧p ≡p
Hukum Asosiatif
(p ∨q) ∨r≡p ∨(q ∨r)
(p ∧q) ∧r≡p ∧(q ∧r)
Hukum Komutatif
p ∨q ≡q ∧ p
p ∧q ≡q ∧ p
Hukum Distributif
p ∨(q ∧r)≡( p ∨q ) ∧(p ∨r)
p ∧(q ∨ r)≡( p ∧q ) ∨(p ∧ r)
Hukum Identitas
p∨S≡p
p∧B≡p
p∨B≡B
p∧S≡S
Hukum Komplemen
p∨~p ≡B
p∧~p ≡S
~ ~p≡p
~B ≡S
~S ≡ B
Hukum DeMorgan
~(p ∨q) ≡~p ∧~q
~(p ∧q) ≡~p ∨~q