Makalah System Operasi " Konsep Dasar System Komputer"

MAKALAH

SYSTEM OPERASI

KONSEP DASAR SYSTEM KOMPUTER

PAMUJI

(2014220012)

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS DR. SOETOMO

Jl. Semmolowaru No. 84, Surabaya, Jawa Timur 60118 Telepon: (031) 5924452

2015

BAB I

PENDAHULUAN

A.    LATAR BELAKANG MASALAH

        Komputer merupakan alat modern yang tidak bisa dilepaskan dari kehidupan sehari-hari. Mulai dari mengerjakan pekerjaan kampus, sekolah, kantor, multimedia, bahkan hiburan. Dewasa ini perkembangan komputer semakin berkembang dan masih akan terus berkembang tanpa batas. Kita sebagai manusia mau tidak mau harus mengikuti perkembangan kemajuan teknologi khususnya di bidang komputerisasi agar kita tidak termakan oleh alat yang kita buat sendiri. Atas dasar itu kami mencoba membahasnya dalam bentuk makalah dengan harapan dapat berguna bagi orang lain dan khususnya bagi kami sendiri. Banyak sekali pembahasan tentang komputer, tapi kami coba menulis makalah dengan judul “Konsep Dasar Sistem Komputer”, yang dijelaskan secara umum dan garis besarnya saja. Makalah ini kami susun sesederhana mungkin agar para pembaca mudah mencernanya dan tidak bosan membacanya. Kami selaku penulis mohon maaf jika ada pembahasan yang kurang tepat dan menyimpang, karena kami dalam proses belajar.

B.     RUMUSAN MASALAH
1.  Apakah pengertian komputer
2.  Bagaimana Skema Dasar system komputer
3.  Apa itu Pemroses(CPU)
4.  Apa itu Input/Output
5.  Apa itu Interkoneksi antar komponen
6.  Apa itu Interrupt

C.     TUJUAN PENULISAN
1. Memahami konsep dasar sistem komputer
2. Mengetahui pengertian dari komputer
3.  Memahami cara kerja komputer
4.  Mengetahui perangkat pada komputer

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Pengertian Komputer

Komputer adalah seperangkat alat elektronik yang dihubungkan dengan listrik yang berguna untuk membantu pekerjaan manusia agar lebih mudah, cepat, dan akuat. Komputer juga sebagai alat informasi dan komunikasi yang mampu mangolah data dan kemudian menyimpannya.

B.     Skema Dasar system komputer

 

 Komponen dasar sistem komputer :

a.    Pemroses(CPU) : mempunyai fungsi untuk mengendalikan operasi komputer dan memproses data.

b.    Memori utama : fungsi utama adalah tempat menyimpan data dan program. Sifat utama dari memori utama adalah volatile (tidak dapat mempertahan data dan program bila sumber daya listrik mati).

c.    Perangkat Masukan dan keluaran(I/O) : mempunyai fungsi untuk memindahkan data antara komputer dan lingkungan eksternal

d.    Interkoneksi antar komponen : struktur dan mekanisme yang berfungsi untuk menghubungkan ketiga komponen di atas.

C.    Pemroses(CPU)

Otak sebuah komputer berada pada unit pemrosesan (Process device). Unit pemrosesan ini dinamakan CPU (Central Processing Unit ). Fungsi CPU adalah sebagai pemroses dan pengolah data yang selanjutnya dapat menghasilkan suatu informasi yang diperlukan. Pada komputer mikro unit pemrosesan ini disebut dengan micro-processor (pemroses mikro) atau processor yang berbentuk chip yang terdiri dari ribuan sampai jutaan IC. Fungsi utama dari CPU bekerja dengan aritmatika dan logika terhadap data yang terdapat dalam memori atau yang dimasukkan melalui unit masukkan seperti keyboard, scanner, atau joystick.

Komponen CPU terbagi menjadi beberapa macam, yaitu sebagai berikut:

Ø Unit kontrol yang mampu mengatur jalannya program. Komponen ini sudah pasti terdapat dalam semua CPU. CPU bertugas mengontrol komputer sehingga terjadi sinkronisasi kerja antarkomponen dalam menjalankan fungsi-fungsi operasinya. termasuk dalam tanggung jawab unit kontrol adalah mengambil intruksi-intruksi dari memori utama dan menentukan jenis instruksi tersebut. Bila ada instruksi untuk perhitungan aritmetika atau perbandingan logika, maka unit kendali akan mengirim instruksi tersebut ke ALU. Hasil dari pengolahan data dibawa oleh unit kendali ke memori utama lagi untuk disimpan, dan pada saatnya akan disajikan ke alat output. Dengan demikian tugas dari unit kendali ini adalah:

·     Mengatur dan mengendalikan alat-alat masukan (input) dan keluaran (output).

·     Mengambil instruksi-instruksi dari memori utama.

·     Mengambil data dari memori utama (jika diperlukan) untuk diproses.

·     Mengirim instruksi ke ALU bila ada perhitungan aritmetika atau perbandingan logika serta mengawasi kerja dari ALU.

·     Menyimpan hasil proses ke memori utama.

Ø  Register merupakan alat penyimpanan kecil yang mempunyai kecepatan akses cukup tinggi, yang digunakan untuk menyimpan data dan/atau instruksi yang sedang diproses. Memori ini bersifat sementara, biasanya digunakan untuk menyimpan data saat di olah ataupun data untuk pengolahan selanjutnya. Secara analogi, register ini dapat diibaratkan sebagai ingatan di otak bila kita melakukan pengolahan data secara manual, sehingga otak dapat diibaratkan sebagai CPU, yang berisi ingatan-ingatan, satuan kendali yang mengatur seluruh kegiatan tubuh dan mempunyai tempat untuk melakukan perhitungan dan perbandingan logika.

Ø  ALU unit yang bertugas untuk melakukan operasi aritmetika dan operasi logika berdasar instruksi yang ditentukan. ALU sering di sebut mesin bahasa karena bagian ini ALU terdiri dari dua bagian, yaitu unit arithmetika dan unit logika boolean yang masing-masing memiliki spesifikasi tugas tersendiri. Tugas utama dari ALU adalah melakukan semua perhitungan aritmetika yang terjadi sesuai dengan instruksi program. ALU melakukan semua operasi aritmetika dengan dasar penjumlahan sehingga sirkuit elektronik yang digunakan disebut adder.

Tugas lain dari ALU adalah melakukan keputusan dari suatu operasi logika sesuai dengan instruksi program. Operasi logika meliputi perbandingan dua operand dengan menggunakan operator logika tertentu, yaitu sama dengan (=), tidak sama dengan (¹ ), kurang dari (<), kurang atau sama dengan (£ ), lebih besar dari (>), dan lebih besar atau sama dengan (>=).

Ø  CPU Interconnections adalah sistem koneksi dan bus yang menghubungkan komponen internal CPU, yaitu ALU, unit kontrol dan register-register dan juga dengan bus-bus eksternal CPU yang menghubungkan dengan sistem lainnya, seperti memori utama, piranti masukan /keluaran.

D.    Memory

Memori merupakan bagian dari komputer yang berfungsi sebagai tempat penyimpanan informasi yang harus diatur dan dijaga sebaik-baiknya. Memori biasanya disebut juga dengan istilah : computer storage, computer memory atau memory, merupakan piranti komputer yang digunakan sebagai media penyimpan data dan informasi saat menggunakan komputer. Memory merupakan bagian yang penting dalam komputer modern dan letaknya di dalam CPU (Central Processing Unit). Sebagian besar komputer memiliki hirarki memori yang terdiri atas tiga level, yaitu:

physical Register di CPU, berada di level teratas. Informasi yang berada di register dapat diakses dalam satu clock cycle CPU.

Primary Memory (executable memory), berada di level tengah. Contohnya, RAM. Primary Memory diukur dengan satu byte dalam satu waktu, secara relatif dapat diakses dengan cepat, dan bersifat volatile (informasi bisa hilang ketika komputer dimatikan). CPU mengakses memori ini dengan instruksi single load dan store dalam beberapa clock cycle. Secondary Memory, berada di level bawah. Contohnya, disk atau tape. Secondary Memory diukur sebagai kumpulan dari bytes (block of bytes), waktu aksesnya lambat, dan bersifat non-volatile (informasi tetap tersimpan ketika komputer dimatikan). Memori ini diterapkan di storage device, jadi akses meliputi aksi oleh driver dan device.

JENIS MEMORI (MEDIA PENYIMPANAN)

Memori merupakan media penyimpanan data pada komputer, yang mana media penyimpanan data dalam computer dibagi menjadi 2 jenis yaitu :

a.       Memori Internal

Memori jenis ini dapat diakses secara langsung oleh prosesor. Memori internal memiliki fungsi sebagai pengingat. Dalam hal ini yang disimpan di dalam memori utama dapat berupa data atau program. Memori biasa terbagi dibedakan menjadi dua macam: ROM dan RAM. Selain itu, terdapat pula memori yang disebut CACHE MEMORI, CMOS, DRAM, SDRAM, DIMM.

1.      ROM (Read-Only-Memory a.k.a firmware)

Adalah jenis memori yang isinya tidak hilang ketika tidak mendapat aliran listrik dan pada awalnya isinya hanya bisa dibaca. ROM pada komputer disediakan oleh vendor komputer dan berisi program atau data. Di dalam PC, ROM biasa disebut BIOS (Basic Input/Output System) atau ROM-BIOS.

2.      CMOS (Compmentary Meta-Oxyde Semiconductor).

Adalah jenis cip yang memerlukan daya listrik dari baterai. Cip ini berisi memori 64-byte yang isinya dapat diganti. Pada CMOS inilah berbagai pengaturan dasar komputer dilakukan, misalnya peranti yang digunakan untuk memuat sistem operasi dan termasuk pula tanggal dan jam sistem. CMOS merupakan bagian dari ROM.

3.      RAM (Random-Access Memory).

Adalah jenis memori yang isinya dapat diganti-ganti selama komputer dihidupkan dan bersifat volatile. Selain itu, RAM mempunyai sifat yakni dapat menyimpan dan mengambil data dengan sangat cepat.

4.      DRAM (Dynamic RAM).

Adalah jenis RAM yang secara berkala harus disegarkan oleh CPU agar data yang terkandung di dalamnya tidak hilang. DRAM merupakan salah satu tipe RAM yang terdapat dalam PC.

5.      SDRAM (Sychronous Dynamic RAM).

Adalah jenis RAM yang merupakan kelanjutan dari DRAM namun telah disnkronisasi oleh clock sistem dan memiliki kecepatan lebih tinggi daripada DRAM. Cocok untuk sistem dengan bus yang memiliki kecepatan sampai 100 MHz.

6.      DIMM (dual in-line memory module)

Berkapasitas 168 pin, kedua belah modul memori ini aktif, setiap permukaan adalah 84 pin. Ini berbeda daripada SIMM yang hanya berfungsi pada sebelah modul saja. Mensuport 64 bit penghantaran data. SDRAM (synchronous DRAM) menggunakan DIMM. Merupakan penganti dari DRAM, FPM (fast page memory) dan EDO. SDRAM pengatur (synchronizes) memori supaya sama dengan CPU clock untuk pemindahan data yang lebih cepat. Terdapat dalam dua kecepatan yaitu 100MHz (PC100) dan 133MHz (PC133). DIMM 168 PIN. DIMM adalah jenis RAM yang terdapat di pasaran.

7.      CACHE MEMORY.

Memori berkapasitas terbatas, memori ini berkecepatan tinggi dan lebih mahal dibandingkan memory utama. Berada diantara memori utama dan register pemroses, berfungsi agar pemroses tidak langsung mengacu kepada memori utama tetapi di cache memory yang kecepatan aksesnya yang lebih tinggi, metode menggunakan cache memory ini akan meningkatkan kinerja sistem. Cache memory adalah tipe RAM tercepat yang ada, dan digunakan oleh CPU, hard drive, dan beberapa komponen lainnya.

b.      Memori Eksternal

Merupakan memori tambahan yang berfungsi untuk menyimpan data atau program.Contoh: Hardisk, Floppy Disk dll. Hubungan antara Chace Memori, Memori Utama dan Konsep dasar memori eksternal adalah : Menyimpan data bersifat tetap (non volatile), baik pada saat komputer aktif atau tidak. Memori eksternal biasa disebut juga memori eksternal yaitu perangkat keras untuk melakukan operasi penulisan, pembacaan dan penyimpanan data, di luar memori utama. Memori eksternal mempunyai dua tujuan utama yaitu sebagai penyimpan permanen untuk membantu fungsi RAM dan yang untuk mendapatkan memori murah yang berkapasitas tinggi bagi penggunaan jangka panjang.

E.     Input dan Output

Input adalah data yang dimasukkan ke computer agar bisa diproses. Input mencakup instruksi program yang diterima CPU setelah ada perintah dari pengguna. Sedangkan output menunjuk pada hasil pemrosesan, yaitu informasi yang terkirim ke layar atau printer, untuk disimpan, atau dikirim ke computer lain di jaringan. Perangkat keras input terdiri dari piranti yang mampu menerjemahkan data ke dalam bentuk yang bisa diproses computer. Bentuk data yang bisa dibaca manusia berupa kata-kata sedangkan data yang bisa dibaca computer berupa angka biner 0 dan 1. Perangkat keras output terdiri dari piranti yang bisa menerjemahkan informasi yang diterjemahkan yang diproses oleh computer ke dalam bentuk yang mampu dipahami oleh manusia.

Alat Input adalah alat-alat yang berfungsi memasukan data atau perintah  kedalam komputer.Contoh dari alat input antara lain: Keyboard, mouse, scanner , dll

Alat output adalah alat-alat yang berfungsi mengeluarkan data-data yang berbentuk informasi yang dibutuhkan.

Macam-Macam Alat Output Komputer : monitor , speaker, dll

F.     Interkoneksi Antarkomponen

Interkoneksi antar komponen adalah struktur dan mekanisme yang menghubungkan antara CPU, main memory, perangkat masukan dan keluaran.Secara fisik interkoneksi antar komponen berupa “perkawatan”. Interkoneksi memerlukan tata cara atau aturan komunikasi agar tidak kacau (chaos) sehingga mencapai tujuan yang diharapkan. 

Antara CPU, main memory, perangkat masukan dan keluaran dihubungkan oleh sebuah BUS. BUS terbagi menjadi 3 macam bagian diantaranya bus alamat (address bus), bus data (data bus), bus control (control bus). Lalu apa fungsi dari ketiga bagian ini?

• Address Bus, Bus yang mengirim alamat lokasi memori atau port yang ingin ditulis atau dibaca. Jumlah lokasi memori yang dapat dialamati CPU ditentukan oleh jumlah jalur alamat. Jika CPU memilki (n) jalur alamat maka dapat secara langsung mengalamati 2ⁿ pada lokasi memori.

• Data Bus, Bus data ini Bidirectional berarti dapat dibaca dan dikirim dari atau ke dalam memori atau port. Bus data berhubungan dengan transfer data, pembacaan data dari atau ke memori dengan peralatan-peralatan.

• Control Bus, Bus yang digunakan CPU dengan dikirimi sinyal untuk memerintahkan memori atau port I/O.

G.    Interrup

Interrupt atau interupsi adalah proses dalam komputer untuk meminta dilayani oleh mikroprosesor sesuai dengan tingkat prioritasnya yang telah diatur sedemikian rupa oleh sistem hardware computer. CPU banyak melaksanakan routin untuk melakukan pelayanan pemrosesan ataupun koordinasi kepada IC penunjang atau chipset dan peripherals pada saat diperlukan.

Sehingga CPU dapat melakukan operasi dengan 2 cara yaitu : 

1. Operasi dengan polling 

2. Opreasi dengan interrupt

Operasi dengan polling berarti CPU selalu terus menerus menanyakan/ memantau ke tiap-tiap komponen penunjang satu persatu meskipun komponen itu sedang tidak memerlukan pelayanan.

Sedangkan operasi interrupt atau interupsi dilakukan oleh tiap-tiap komponen kepada CPU bilamana memerlukan pelayanan pemrosesan, sehingga CPU tidak terus-menerus menanyakan /memantau komponen itu. Setiap interupsi yang datang di kontrol oleh interrupt controller di luar CPU. Dalam keadaan CPU terkena interupsi, maka CPU untuk sesaat menghentikan kegiatan pelayanan utama dan beralih melayani komponen yang menginterupsinya. Setelah selesai dilayani CPU kembali melakukan pelayanan utamanya.

Cara interupsi sangat meningkatkan effisiensi operasi CPU dan melakukan tugasnya dengan cepat.

Interupsi dapat dilakukan dengan cara hardware dan software, sehingga CPU dapat menerima 3 macam interupsi antara lain :

Interupsi software (instruksi INT nH n= bilangan 00H s/d FFH)

Non Maskable Interrupt (Interupsi hardware dimana interupsi ini mutlak tidak dapat dicegah karena berasal dari sistem board atau IC.

Maskable Interrupt (berasal dari hardware melalui pin INTR) yang dapat ditutup atau dicegah dengan instruksi CLI berasal dari interupsi perangkat lunak.

Interupsi software terdiri dari 256 dan diberi nomor 00H hingga FFH. Alamat awal masing-masing program pelayanan terdiri dari 4 byte, 2 byte untuk Code Segment dan 2 byte untuk Instruction Pointer.

Dalam pemrograman assembler kita dapat melakukan interupsi secara software dengan perintah INT yang dapat dilihat dalam tabel interupsi.

Interrupt Software dalam PC terbagi dua yaitu :

1.Interrupt BIOS (Basic Input Output Sistem) 

2. Interrupt DOS (Disk Operating Sistem)

Interrupt BIOS diwujudkan dalam bentuk interupsi software berjumlah 32 dan akses pelayanannya tinggal memerintahkan dengan instruksi INT nH asal parameternya diwajibkan telah terpenuhi dahulu. INT nH terdiri dari 00H sampai 1FH yang disusun berurutan dan diberi servis number (nomor pelayanan) tersendiri.

Interrupt DOS merupakan interupsi dari software Sistem Operasi terdiri dari INT 20H untuk kembali ke DOS dan INT 21H untuk operasi Input/Output.

Kejadian-kejadian sinkron yang merupakan tanggapan pemroses terhadap kondisi-kondisi tertentu yang memerlukan perhatian. Sebuah setting hardware yang menjalankan perintah-perintah dalam sistem komputer.

Interrupt secara harfiah dalam bahasa Indonesianya diartikan sebagai selaan, menyela, atau menjegal, atau istilah kerennya disebut dengan interupsi.

Interrupt bisa diibaratkan dalam kehidupan sehari-hari sebagai suatu proses berjalan, namun belum selesai proses tersebut melakukan tugasnya, sudah dilaksanakan lagi proses lainnya.

Ibaratnya begini, ketika anda sedang melakukan suatu pekerjaan, katakanlah membaca sebuah buku, belum selesai buku tersebut anda tamatkan, lalu telepon anda berbunyi, sehingga anda melakukan percakapan terlebih dahulu melalui telepon tersebut. Setelah pembicaraan selesai, anda melanjutkan membaca buku tadi. menerima telepon di dalam kejadian tersebut disebut dengan menyela.

Begitu juga dengan proses yang terjadi pada komputer. Apabila sebuah komputer melakukan prosesnya tanda ada gangguan, tentu komputer tersebut dapat menyelesaikan pekerjaannya dengan serius khusus untuk satu pekerjaan yang sedang dikerjakannya. Dalam kondisi demikian, komputer anda melakukan tugasnya yang disebut denganprimitive batch processing. Pekerjaan seperti ini digunakan oleh komputer pada komputer zaman awal-awal ditemukannya. Dimana komputer tidak bisa mengerjakan beberapa program sekaligus dalam waktu bersamaan, sampai satu pekerjaan selesai dikerjakan, maka baru dia bisa berpindah ke pekerjaan lainnya.

Komputer terkini, memiliki kemampuan interrupt ini. Penulis melakukan pengetikkan naskah ini sambil mendengarkan musik yang terpasang pada notebook yang digunakan, tidak jarang komputer ini juga sambil terhubung dengan internet untuk membuka halaman web atau mengambil beberapa data yang ada di internet.

Anda tentu juga tidak jarang mengalami hal dengan interrupt ini, katakanlah, ketika mengetikkan SMS ternyata ada telpon yang masuk, anda terima dulu telpon tersebut, lalu setelahnya anda lanjutkan pengetikan SMS tadi.

Untuk memungkinkan terjadinya interrupt ini pada sistem komputer, CPU memiliki suatu jalur khusus terhadap suatu chip pengatur interrupt eksternal (bagian dari chipset), yang berisi database sederhana yang dikenal dengan interrupt vectors.

Ketika sebuah interrupt terjadi pada chip, maka CPU menyimpan informasi terakhir yang dia kerjakan, berulah dia mengerjakan sesuai dengan informasi yang ada pada interrupt vector tesebut. Interrupt vector ini sebenarnya hanya sebuah nama pemanis yang berisi informasi tentang selaan yang terjadi, kalau dibelah lebih dalam lagi, isinya adalah berupa tabel yang berisi angka-angka). Pada interrupt vector inilah ditemukan kemana dan apa proses berikutnya yang harus dilaksanakan oleh komputer. Ketika pekerjaan interrupt tadi selesai dilaksanakan, maka komputer melakukan pelacakan kembali apa pekerjaan sebelumnya yang sedang dilaksanakannya.

Prioritas dalam interrupt

Dalam penerimaan suatu interrupt ini, komputer membagi interrupt tersebut dalam berbagai level, tergantung dari CPU yang digunakan. Misalnya pada komputer yang digunakan untuk pekerjaan yang cukup membutuhkan konsentrasi dari CPU, maka CPU tersebut memungkinkan untuk mengabaikan interrupt yang prioritasnya rendah, katakanlah pengetikkan yang dilakukan oleh seorang user melalui keyboard, namun komputer tersebut akan memberikan respon yang sangat cepat apabila terjadi gangguan pada memori yang digunakannya.

Interupsi terjadi bila suatu perangkat M/K ingin memberitahu prosesor bahwa ia siap menerima perintah, output sudah dihasilkan, atau terjadi error.

Penanganan Interupsi

Ada beberapa tahapan dalam penanganan interupsi:

1.  Controller mengirimkan sinyal interupsi melalui interrupt-request-line

2.  Sinyal dideteksi oleh prosesor

3.  Prosesor akan terlebih dahulu menyimpan informasi tentang keadaan state-nya (informasi tentang proses yang sedang dikerjakan)

4.  Prosesor mengidentifikasi penyebab interupsi dan mengakses tabel vektor interupsi untuk menentukan interrupt handler

5.  Transfer kontrol ke interrupt handler

6.  Setelah interupsi berhasil diatasi, prosesor akan kembali ke keadaan seperti sebelum terjadinya interupsi dan melanjutkan pekerjaan yang tadi sempat tertunda.

H.     

BAB III

Penutup

A.    Kesimpulan

Komputer adalah seperangkat alat elektronik yang dihubungkan dengan listrik yang berguna untuk membantu pekerjaan manusia agar lebih musah, cepat, dan akurat.

        Hardware adalah sekumpulan perangkat keras komputer yang dapat kita lihat, raba, dah rasakan.

        Software adalah data yang dihasilkan dari syntax-syntax yang dirancang oleh programer, diproses oleh mesin komputer, disimulasikan, menghasilkan output kemudian dapat dimanfaatkan oleh pengguna (user).

        Brainware adalah manusia sebagai orang yang menghasilkan teknologi akhirnya juga akan berfungsi sebagai pengguna dari teknologi itu sendiri.

Makalah Kewirausahaan

RENCANA USAHA RISOL MAYO

BAB I

PENDAHULUAN

1.1    Latar Belakang Perusahaan

Dalam suatu pemasaran banyak sekali berbagai bentuk dan macam macam aneka ragam makanan dari yang kecil hingga yang besar dan dari yang termurah hingga yang termahal. Dalam kebutuhan sehari - hari banyak sekali aktifitas yang dijalani dan juga pasti memiliki makanan yang sehat dan bermanfaat bagi tubuh. Makanan - makanan memang sudah banyak sekali yang menjual tetapi makanan ini begitu sangat sederhana dan baik untuk dikonsumsi ketika siang maupun  malam hari untuk masyarakat  kalangan menengah kebawah ataupun menengah ke atas. Makanan ini dibuat dengan cara pembuatan yang sederhana dengan lebih baik dan higienis, begitu juga harga terjangkau dan banyak pula masyarakat yang berminat untuk membelinya dengan rasa yang cukup enak, nikmat, dan lezat.

Oleh karena itu saya memilih jenis usaha yaitu “RISOL MAYO” untuk dijual karena untuk mengingatkan masyarakat Indonesia agar tidak lupa makanan khas Indonesia, karena ini merupakan makanan untuk dikonsumsi.

BAB II

ISI BUSINESS PLAN

2.1   Visi & Misi

Visi :

Menjadikan “Risol Mayo” sebagai usaha makanan cepat saji yang terkenal minimal di Surabaya, maksimal seluruh dunia mengetahui Risol Mayo.

Misi :

1.       Mengutamakan kualitas dalam pelayanan dan penyajian (makanan)

2.       Berorientasi kepada kepuasan konsumen

3.       Mengembangkan inovasi – inovasi baik dalam produk maupun pelayanan

4.       Mengembangkan usaha di beberapa tempat strategis lainnya untuk memperluas usaha

     

.

2.2    Ruang Lingkup Usaha

Ruang lingkup usaha yang kami rintis ini masih usaha perumahan kecil, tapi usaha ini sangat menjanjikan karena Risol Mayo dapat dikonsumsi oleh semua kalangan.

Tujuan Usaha

1.         Menerapkan kemampuan berwirausaha

2.         Agar usaha kita lebih dikenal orang lain

3.         Memunculkan bakat untuk berbisnis

4.         Mendapatkan keuntungan

BAB III

ANALISIS USAHA

3.1    Rencana Produk

Produk kami ialah produk makanan ringan, dan produk kami adalah makanan cepat saji yang istimewa. Bahan utama yang kami gunakan adalah telur,mayonaise,daging asap,saos,keju.

Awalnya perusahaan kami dibentuk karena melihat tingkat kesukaan masyarakat kepada makanan ringan yang cukup tinggi. Modal kami berjumlah Rp. 1.500.000

3.2    Produk/jasa yang dihasilkan

Keistimewaan Risol Mayo ini diantaranya :

1.       Hidangan lezat dan bergizi

2.       Harga ralative terjangkau oleh semua kalangan

3.       Disajikan dengan berbagai macam isi (ayam, daging asap, telur, sayuran)

BAB IV

DESKRIPSI TENTANG USAHA

4.1  Jenis Usaha

Menjual makanan ringan yang lezat dan bergizi dan disajikan den dengan berbagai ng asap, macam isi ( ayam, daging asap, telur , sayuran)

4.2  Prospek Usaha

Usaha yang kami dirikan ini merupakan usaha menengah, kalangan manapun tahu dengan produk makanan ini. Dalam usaha ini tingkat persaingan mudah diatasi karena kami selalu berinovatif dan kreatif dalam produk kami sesuai selera konsumen.

BAB V

RENCANA PRODUKSI

Rencana produksi kami dalam jangka waktu 1bulan sebesar 500 Risol Mayo

5.1  Bahan Baku dan penggunaannya

Bahan-bahan untuk membuat Risol Mayo :

A.      Bahan kulit risol                                  B. Bahan Isi Risol Mayo

1.     Tepung terigu                                    1. Mayonaise

2.     Telur                                                  2. Daging smokebeef

3.     Mentega                                             3. Keju                               

4.     Garam                                                4. Telur

5.     Air                                                      5. Sause                                               

6.     Susu bubuk 

Cara pembuatan :

a. Campurkan tepung terigu dengan susu cair, aduk hingga rata.

b.Tambahkan telur yang sudah dikocok, mentega yang telah dicairkan, air, garam, aduk    hingga rata. 

c. Kemudian saring adonan.

d. Sediakan Teflon, baluri mentega di atasnya.

e. Dadar adonan kulit risol satu persatu hingga adonan habis.

f. Sisihkan di piring pipih,

g. Isi kulit yang telah didadar dengan smoke beef, mayonnaise, keju, saos, telur, dan saus.

h. lalu lipat kulit dengan rapat,

i.  Lumuri kulit yang telah di isi dengan telur yang sudah di kocok.

j.  Lalu baluri dengan tepung roti,

k. Goreng, hingga berwarna cokelat keemasan.

l.  Risol mayo siap disajikan di piring saji

BAB VI

RENCANA PEMASARAN

6.1  Analisis Persaingan Usaha

Setiap kegiatan untuk memulai usaha saya harus mengukur kemampuan saya terhadap lingkungan atau pesaing yaitu melalui analisis SWOT.

1. Strength (kekuatan)

Kekuatan dari menjual produk ini ialah :

-  Dapat dibeli oleh segala kalangan baik

-  Bahan produk yang terjamin sehat dan higienis

2. Weakness (kelemahan)

-   Tidak dapat tahan lama

-   Produknya mudah ditiru

-   Produk tidak terjual banyak

3. Oppurtinity (peluang)

-   Tempat strategis

-   Fasilitas yang cukup memadai

4. Threath (ancaman)

Adanya pesaing yang menjual produk dengan harga yang relatif rendah dibanding Risol Mayo yang saya jual.

6.2  Analisis 4P

Ø  Product

Brand : Risol Mayo

Quality : Tanpa bahan pengawet

Packing : menggunakan plastik sebagai pengemas produk

Ø  Price

Untuk harga awal, Risol Mayo dijual langsung kepada konsumen dengan   harga 3000     per buah

Ø  Promotion

·         Personal Selling : Pemasaran awal produk kami melalui face to face, dimana melalui mulut ke mulut, kemudian terus berkembang.

·         Media Online : kami juga memasarkan produk kami melalui jaringan internet baik itu melalui social media maupun blog yang tersedia

Ø  Place

Berlokasi di wilayah perumahan dan dipinggir jalan

6.3  Target Dan Segmentasi Pasar

·         Geografi

Wilayah yang kita jadikan target yaitu wilayah Surabaya, alasan kita memilih Surabaya karena bahan-bahan untuk membuat produk ini sangat mudah ditemukan dikota ini kami melihat banyaknya peluang bisnis pada makanan yang siap saji, sehingga kami memanfaatkan peluang ini.

·         Demografi

Berdasarkan demografi, secara pasar kami bertuju pada kalangan mahasiswa, dosen dan lingkungan sekitar Perumahan dan dipinggiran jalan dengan membuka warung untuk mempermudah kami memperoleh informasi pasar.

6.4  Strategi Pemasaran

·         Perkenalan Bisnis

Produk yang kami tawarkan merupakan makanan ringan yang lezat, bergizi, dan harga yang terjangkau. Produk ini bernama “RISOL MAYO” yaitu risol yang disajikan dengan mayonaise yang sehat untuk dikonsumsi.

·         Membangun jaringan dengan usaha lain yang dapat mendukung bisnis

Memiliki produk risol mayo ini yang berbahan baku seperti smokebeef, sause, telur, keju, mayonaise. Oleh karena itu kami berniat bekerja sama kepada perusahaan-perusahaan yang menyediakan produk kami demi meningkatkan kualitas produk kami dan mengenali usaha kami lebih luas

·         Menciptakan inovasi pada desain yang ditawarkan.

Produk kami kali ini yang pertama : risol mayonaise dengan isi yang sehat dan bergizi telur, daging asap, keju, sause. kedepannya kami ingin berinovasi untuk membuat sause risol mayo yang berbeda.

·         Meningkatkan kualitas pelayanan

Menyediakan website untuk wadah para konsumen memberikan saran atas produk yang kami buat.

·         Media pemasaran

Kami akan mempromosikan produk kami melalui jejaring social, promosi face to face.

BAB VII

RENCANA PERMODALAN

6.1  Modal Usaha

Modal Sendiri             : Rp. 500.000,-            

Modal pinjaman         : Rp. 1.500.000,-                

Jumlah                         : Rp. 2.000.000,-            

6.2  Penentuan Harga Produksi

Biaya Baku                                          : Rp. 412.000,00,-

Biaya Penolong                                   : Rp. 143.000,00,-

Total biaya Produksi                           : Rp. 555.000,00,-

Biaya Cetak laporan                           : Rp. 6.000,00,-

Biaya ADM                                          : Rp. 8.000,00,-

Total Biaya Operasional                     : Rp. 14.000,00,-

Harga potong produksi/potong Risol Mayo adalah :

Risol Mayo =(Rp. 555.000 + Rp.14.000/500) = Rp. 1.138,-

Menentukan harga jual

Risol Mayo : Rp. 2.150

6.3  Penentuan Harga Jual

Perkiraan laba yang diharapkan :

Rp. 3.500 – Rp. 2150 = Rp. 1350

BAB VIII

RENCANA ORGANISASI

8.1  Rencana organisasi kami ialah terdiri dari bagian :

Manajemen                : 2

Produksi                     : 4

Pemasaran                  : 3

Keuangan                   : 2

8.2  Klasifikasi Organisasi

Ø  CEO

Mengontrol, memonitor semua kegiatan yang ada didalam perusahaan dan mampu membaca laporan keuangan perusahaan serta dapat mengambil keputusan.

Ø  General Manager

Dapat mengatur sdeluruh departemen bagian dan menjalankan strategi   perusahaan.

Ø  Financial Manager

Mengontrol dan memonitoring semua yang berhubungan dengan masalah keuangan perusahaan, dan dapat mengatasi masalah keuangan.

Ø  Production Manager

Bertanggung jawab terhadap produksi dan menginovasikan yang akan diperjualbelikan.

Ø  Marketing Manager

Dapat mempromosikan dan menawarkan produk yang perusahaan miliki melalui berbagai media.

BAB IX

RESIKO

9.1 Resiko & Upaya Pengurangan Resiko

Selama ini produsen menggunakan bahan – bahan dengan mutu tinggi maka harga yang dikenakan untuk 1 buah risol mayo pun relative mahal, hal ini bertujuan untuk menutupi pengeluaran pembelian bahan baku. Jika produsen mengganti bahan baku daengan kualitas rendah, maka rasa dan tekstur risol mayo yang dihasilkan akan menurun, dan kemungkinan dengan kondisi tersebut para konsumen akan berkurang dalam mengkonsumsi risol mayo. Maka produsen akan mengambil jalan tengah dengan mengganti bahan baku dengan harga lebih murah dengan kualitas yang bersaing dengan bahan baku sebelumnya.

BAB X

KESIMPULAN

Risol mayo adalah risol yang unik, dibuat secara sederhana namun menghasilkan rasa yang lezat dan bergizi pula. Risol mayo memiliki banyak keistimewaan diantaranya mempunyai banyak variasi rasa, sehingga membuat para pelanggan akan ketagihan untuk membelinya lagi. Usahakami merupakan usaha yang sangat menjanjikan karena akan menghasilkan omset yang tinggi. Namun wirausaha harus mempunyai kecakapan dalam melihat analisis SWOT sehingga dapat mengembangkan usaha dengan baik dan lancar, tidak menimbulkan kegagalan produksi ditengah jalan maka seorang wirausaha harus merencanakan usaha semaksimal mungkin agar usaha berkembang dengan cepat. Dan juga kami akan terus melakukan inovasi agar konsumen terus berlangganan kepada kami

Makalah Balok | Bangun Ruang Sisi Datar

Makalah Matematika SMP Bangun Ruang Sisi Datar (Balok) Jika menginginkan file dalam format MsWord bida di download disini

MAKALAH LINGKARAN

Makalah Matematika Lingkaran Jika menginginkan file dalam format MsWord bida di download disini

Bilangan Prima

Bilangan Prima adalah  bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1. Kita telah mengenal dua bilangan positif saling prima (Prima relatif atau koprima), yaitu faktor persekutuan terbesar(FPB) dari dua bilangan itu sama dengan 1. apabila a₁, a₂, a₃,_........, a_n , adalah bilangan-bilangan bulat positif maka (a₁, a₂, a₃,_........, an) = 1, maka dikatakan bahwa a₁, a₂, a₃,_........, an, saling prima pula tetapi, jika (a_i, a_j,) = 1, untuk setiap i, j = 1, 2, 3, ...., n dengan i ≠ j, maka dikatakan bahwa bilangan-bilangan bulat positif a₁, a₂, a₃,_........, an saling prima dua-dua atau saling prima sepasang demi sepasang.

Nb : dalam materi ini tanda "kurung"/ ( ..... ) bisa dikatakan FPB. Contoh: (a, b) = 1 memiliki arti FPB dari  a  dan b sama dengan 1
 
 Contoh : 

1. karena (5, 8, 9) = 1, maka 5, 8, 9 dikatakan tiga bilangan yan saling prima dan sekaligus salig prima sepasang demi sepasang, karena (5,8)=(5,9)=(8,9)=1.
   <\li>
2. karena (3,9,4,8)=1, maka 3,4,8 dan 9 adalah empat bilangan yang saling prima, tetapi bukan merupakan empat bilangan yang saling prima sepasang demi sepasang, sebab (3,9)=3 dan (4,8)=4, meskipun (3,4)=(3,8)=(9,4)=(9,8)=1.<\li> 

cara mencari prima sepasang  :
misal :

1. apakah 9, 20, 41 merupakan prima sepasang .?
   jawab : (9, 20)   = 1
                (9, 41)   = 1
                (20, 41) = 1
   (9,20)=(9,41)=(20,41) = 1
    jadi (9, 20, 41) merupakan bilangan prima sepasang.
   
2. apakah 8, 15, 33 merupakan prima sepasang .?
   jawab : (8, 15)   = 1
                (8, 33)   = 1
                (15, 33) = 3
   (8,15)=(8,33)=1  dan (15, 33) = 3
   karena salah FPB dari salah satu pasangan bukan 1
   jadi (8, 15, 33) bukan merupakan bilangan prima sepasang.

Sejarah Matematika dan Perkembangannya

        

Matematika adalah alat yang dapat membantu memecahkan berbagai permasalahan (dalam pemerintahan, industri, sains). Dalam perjalanan sejarahnya, matematika berperan membangun peradaban manusia sepanjang masa.

    Metode yang digunakan adalah eksperimen atau penalaran induktif dan penalaran deduktif. Penalaran induktif adalah penarikan kesimpulan setelah melihat kasus-kasus yang khusus. Kesimpulan penalaran induktif memiliki derajat kebenaran barangkali benar atau tidak perlu benar.

    Penalaran deduktif adalah penarikan kesimpulan dari hal-hal yang umum ke hal yang khusus. Kebenaran dalam penalaran deduktif adalah yakin benar atau pasti benar asalkan asumsi yang mendasarinya juga benar.

    Filsafat Matematika

   Kata Filsafat  memiliki pengertian adalah ilmu pengetahuan yang menyelidiki hakikat sesuatu. Pakar filsafat disebut filsuf, dan adjektifnya filosofi. Setiap filsuf memiliki definisi sendiri-sendiri. Tidak bertentangan tetapi sering saling melengkapi dan ini menunjukkan luasnya bidang persoalan dalam filsafat. Empat hal yang merangsang manusia untuk berfilsafat: ketakjuban, ketidakpuasan, hasrat bertanya, dan keraguan. Sifat dasar filsafat adalah: berpikir radikal, mencari asas, memburu kebenaran, mencari kejelasan, dan berpikir rasional. Peranan filsafat adalah sebagai pendobrak, pembebas, dan pembimbing. Aristoteles membagi filsafat ke dalam filsafat teoretis, praktis, dan produktif. Filsuf yang lain membagi filsafat dengan cara lain pula. Epistemologi adalah cabang filsafat yang bersangkutan dengan ilmu pengetahuan. Pokok persoalan epistemologi adalah sumber, asal mula, sifat dasar, bidang, batas, jangkauan, dan validitas serta reliabilitas ilmu pengetahuan. Ontologi adalah cabang filsafat yang membahas segala sesuatu secara menyeluruh. Pembahasan apa yang tampil dan apa yang realita. Tiga teori dalam ontologi adalah: idealisme, materialisme, dan dualisme.

    Filsafat dari berbagai bidang ilmu: misalnya filsafat politik, ekonomi, bahasa, pendidikan, matematika, hukum, dan sebagainya.

    Filsafat matematika dan filsafat umum dalam sejarahnya adalah saling melengkapi. Filsafat matematika bersangkut paut dengan fungsi dan struktur teori-teori matematika. Teori-teori itu terbebas dari asumsi-asumsi atau metafisik.

    Filsuf matematika yang dikenalkan di sini adalah Pythagoras, Plato, Aristoteles, Leibniz, dan Kant. Doktrin Pythagoras antara lain bahwa fenomena yang tampak berbeda dapat memiliki representasi matematis yang identik (cahaya, magnet, listrik – sebagai getaran – dapat memiliki persamaan diferensial yang sama). Aristoteles menekankan, menemukan ‘dunia permanen’ merupakan realita daripada ‘apa yang tampak’. Aristoteles lebih menekankan pada ‘absraksi’ daripada ‘apa yang tampak’. Leibniz dan Kant menekankan pada proposisi matematis.

    Filsafat Pendidikan Matematika

    Filsafat pendidikan adalah pemikiran-pemikiran filsafat tentang pendidikan. Dapat mengonsentrasikan pada proses pendidikan, dapat juga pada ilmu pendidikan. Jika mengutamakan proses pendidikan, yang dipersoalkan adalah cita-cita, bentuk, metode, dan hasil dari proses pendidikan. Jika mengutamakan ilmu pendidikan maka yang menjadi pusat perhatian adalah konsep, ide, dan metode pengembangan dalam ilmu pendidikan. Filsafat pendidikan matematika termasuk filsafat yang membahas proses pendidikan dalam bidang studi matematika. Aliran-aliran yang berpengaruh dalam filsafat pendidikan antara filsafat analitik, progesivisme, eksistensialisme, rekonstruksionisme, dan konstruktivisme.

    Pendidikan matematika adalah bidang studi yang mempelajari aspek-aspek sifat dasar dan sejarah matematika, psikologi belajar dan mengajar matematika, kurikulum matematika sekolah, baik pengembangan maupun penerapannya di kelas.

    Filsafat konstruktivisme banyak mempengaruhi pendidikan matematika sejak tahun sembilan puluhan. Konstruktivisme berpandangan bahwa belajar adalah membentuk pengertian oleh si belajar. Jadi siswa harus aktif. Guru bertindak sebagai mediator dan fasilitator.

    Budaya yang paling menonjol dapat dikatakan sebagai ciri khas budaya suatu bangsa. Ciri khas bangsa Yunani kuno adalah ide-ide idealnya, bangsa Romawi dengan budaya politik, militer dan suka menaklukkan bangsa lain. Bangsa Mesir kuno dengan seni keindahan dan juga mistik. Tahun 600 – 1200 ciri khas budaya bangsa Eropa adalah teologis. Tahun 1200 – 1800 budaya bangsa Eropa mulai eksplorasi alam sebelum revolusi industri. Abad ke-19, dan 20 penciptaan mesin-mesin otomatis berbarengan dengan kemajuan dalam bidang sains dan matematika.

    Bangsa-bangsa Babilonia, Mesir, Sumeria dapat dipandang sebagai matematika empiris. Nama ini berkaitan dengan perkembangan matematika yang selalu untuk memenuhi keperluan dalam perdagangan, pengukuran, survei, dan astronomi. Dengan kata lain matematika diangkat dari pengalaman manusia bergelut dengan masalah-masalah praktis dalam kehidupan sehari-hari. Walaupun demikian matematika empiris ini telah mengantisipasi datangnya matematika non-empiris seperti telah digunakannya bilangan negatif, dan sistem bilangan alam atau asli yang menuju ketakhingga.

    Kontribusi paling menonjol bangsa Yunani terhadap perkembangan matematika terletak pada dipilihnya metode deduktif dan kepercayaannya bahwa fenomena alam dapat disajikan dalam lambang-lambang bilangan. Dan ini terbukti sekarang telah ditemukan alat-alat elektronik digital.

    Bangsa Eropa sendiri baru belakangan tertarik pada matematika. Selama 1000 tahun matematika berkembang di Asia kecil (Yunan, Arab). Tahun 400 – 120 perkembangan matematika dapat dikatakan mandek, hanya beberapa gelintir orang mengembangkan secara individual (tanpa ada komunikasi satu sama lain), di antara mereka adalah Boethius, Alcuino, dan Gerberet, dan yang paling akhir Leonardo Fibonacci.

    pusat perkembangan matematika berada di Eropa.

    Matematika Kontemporer (1850 – Sekarang)

    Aritmetika memiliki peran ganda: sebagai alat bantu sains dan perdagangan, dan sebagai uji komparatif landasan dasar tempat sistem matematika itu dibangun. Hogben, Well, dan McKey dan lain-lain telah melukiskan peran aritmetika dengan indahnya.

    Perkembangan kalkulasi yang paling spektakuler adalah diciptakannya “otak elektronik”, komputer. Komputer lebih banyak memerlukan matematika daripada aritmetika elementer. Penciptaan komputer memerlukan kolaborasi para pakar matematika, aritmetika, dan ahli teknik pakar mesin.

    Pada abad 20 perkembangan aritmetika makin abstrak dan tergeneralisasi. Perkembangannya mengacu pada aljabar dan analisis guna lebih “mengeraskan” aritmetika. Sebaliknya yang terakhir ini disebut “arimetisasi”

    Abstraksi dan generalisasi pada abad 20 telah diantisipasi oleh Lobachevsky dengan munculnya geometri non-euclidnya. Selanjutnya pakar-pakar lain seperti Peacock, Gregory, DeMorgan, memandang aljabar dan geometri sebagai “hipothetico-deductive” dengan cara Euclid.

    Dengan kritikan tajam oleh Cantor, Dedekind, dan Weirstrass terhadap sifat-sifat sistem bilangan (seperti faktorisasi, habis dibagi dan sebagainya) pada tahun 1875, pada tahun 1899 Hilbert muncul dengan “metode postulatsional”. Dengan demikian, dari pandangan ini, bilangan, titik, garis dan sebagainya adalah abstrak murni, tidak mempunyai kaitan dengan benda fisik. Akhirnya Peano berjaya menjelaskan bahwa sistem bilangan 1, 2, 3, . . . dapat diperluas (dalam arti dapat “menghasilkan”) sistem bilangan bulat, rasional, real, dan kompleks hanya melalui postulat pada bilangan alam.

    Permasalahan terakhir adalah masalah “landasan” atau “pondasi” matematika atas mana struktur matematika itu dibentuk.

    Matematika yang telah berkembang selama dua ribu lima ratus tahun oleh generasi ke generasi, ternyata dapat diajarkan kepada anak-anak “hanya” dalam beberapa tahun di sekolah. Oleh karena itu, Prof Judd (psikolog) mengatakan bahwa aritmetika adalah kreasi manusia paling perfect (sempurna) dan alat untuk berkomunikasi sesama manusia. Dengan demikian matematika perlu dijaga dan dikembangkan untuk mengantarkan manusia menyongsong hari esok yang cerah.

    Perkembangan Matematika

    Perkembangan matematika dilihat dari produktivitas baik kuantitatif maupun kualitatif dari waktu ke waktu makin meningkat dan sangat cepat. Perbandingan ini dikaitkan dengan skala waktu. Perbandingan produktivitas terhadap skala waktu, secara kuantitatif dapat digambarkan mendekati secara eksponensial pertumbuhan biologis.

    Ada dua macam pembagian mengikuti waktu atau periode perkembangan. Yang pertama, pembagian waktu ke dalam tiga periode, yakni, “dahulu”, “pertengahan”, dan “sekarang”. Pembagian ini berdasarkan pertumbuhan matematika sendiri dan daya tahan hidup sesuai zamannya. Yang kedua, pembagian menurut cara konvensional dalam tujuh skala waktu menurut penemuan naskah yang dapat dihimpun, yakni (1) Babilonia dan Mesir Kuno, (2) Kejayaan Yunani (600 SM – 300), (3) Masyarakat Timur dekat (sebagian sebelum dan sebagian lagi sesudah (2)), (4) Eropa dan masa Renaissance, (5) Abad ke-17, (6) Abad ke-18 dan 19, dan (7) Abad ke-20. Pembagian ini mengikuti perkembangan kebudayaan Eropa.

    Setiap periode, baik yang membagi menjadi 3 atau pun 7, memiliki ciri khas yang umum. Pada periode “dahulu”, ciri khasnya adalah empiris, mendasarkan pada pengalaman (indera) hidup manusia. Periode “pertengahan” mulai dengan analisis (Descartes, Newton, Leibniz, Galileo), sedangkan pada periode “sekarang” ciri khasnya adalah metode abstraksi dan generalisasi. Ternyata perkembangan matematika dilihat dari kualitas dan kekuatannya jauh lebih penting daripada dilihat secara kuantitas. Ingatlah akan definisi matematika yang mengatakan “matematika adalah cara berpikir dan bernalar”, lihat Modul 1. Sedang kekuatannya, misalnya, lihatlah geometri Euclid dibanding dengan geometri non-euclid, yang terakhir ini mampu menyelesaikan masalah lebih rumit (geometri non-euclid digunakan dalam mengembangkan teori relativitas dalam ilmu fisika)

    Walaupun demikian kadang-kadang korelasi antara perkembangan matematika dan kebudayaan kadang-kadang korelasi itu negatif.

    Perkembangan Matematika Sesudah Renaissance

    Masing-masing dari 7 periode terdapat peningkatan kematangan yang signifikan, namun juga terdapat keterbatasannya. Pada periode Yunani, matematika masih bersifat empiris. Pada abad ke-17, kekurangan itu diperbaiki dengan munculnya geometri analitik, proyektif, dan diferensial pada abad berikutnya. Revitalisasi diperlukan agar pertumbuhan matematika makin berkembang dan dapat digunakan dalam ilmu lainnya. Yang terakhir muncul geometri baru (non-euclid) dan menyingkirkan geometri euclid (lama).

    Dalam periode terakhir, daerah jelajah matematika makin luas. Beberapa cabang menjadi terlepas dari induknya dan menjadi otonom. Beberapa di antaranya diserap dalam wadah yang lebih besar, misalnya analisis telah menggeneralisasi geometri. Pelarian dan penangkapan kembali ini mengilhami para matematikawan untuk merangkum kembali seluruh matematika. Awal abad ke-20 dipercayai unifikasi akan dicapai melalui logika matematis (Bertrand Russell). Ternyata harapan ini sia-sia dan terlepas.

    Motivasi yang melatar-belakangi perkembangan matematika semula diperkirakan ekonomi. Penelitian lebih mendalam ternyata tidak demikian. Latar belakang ekonomi benar untuk matematika praktis yang diterapkan pada perdagangan, asuransi, sains, dan teknologi. Namun perkembangan matematika dapat dimotivasi oleh agama (mistik), kuriositas intelektual, bahkan hanya untuk ‘makanan’ para pakar matematika. Bagi para pakar matematika ‘murni’ tidak ada tujuan apa pun terkecuali untuk mengembangkan teorinya yang rigor, tanpa memikirkan apakah kelak berguna atau tidak (baca lagi sisa-sisa zaman).

    Banyak matematika yang telah dikembangkan begitu sulit oleh para pekerja matematika, namun hasilnya terkubur begitu saja. Setiap zaman meninggalkan hasil-hasil yang rinci. Sebagian hanya menarik bagi sejarawan matematika. Jadi hasil-hasil karya setiap zaman dapat saja terkubur, tetapi tidak perlu mati. Dan pekerja yang sudah bersusah-payah ini memang tidak perlu sia-sia.

    Berpikir Matematis

    Persyaratan Aksioma dalam Sistem Matematis

    Sejak awal perkembangannya sampai kira-kira abad ke-16, matematika tidak pernah mengenal kreasi matematika baru, sehingga orang mengatakan matematika adalah statis. Tetapi pendapat ini menjadi tidak benar sebab setelah abad ke-17, Descartes menemukan geometri analitik. Lebih-lebih setelah Bolyai dan Lobachevsky menemukan geometri non-euclid. Ini memicu tumbuhnya metode postulatsional atau metode aksiomatis pada abad ke-19. Pemunculan metode ini dipandang sebagai fajar menyingsing perkembangan matematika. Mulai saat itu, hampir setiap hari dikreasi matematika baru.

    Euclid, guru besar di Aleksandria, Mesir, setelah zaman Aristoteles, menulis buku geometri secara aksiomatis. Namun perangkat aksioma buatan Euclid masih kurang rigor (tajam). Kurang rigor-nya ini disebabkan diberinya definisi term-term penyusun aksioma. Contoh: Melalui dua titik yang berlainan hanya terdapat satu garis lurus yang menghubungkan keduanya. Kemudian ia mendefinisikan: titik adalah sesuatu tidak memakan tempat. Pembuka jalan metode aksiomatis adalah Bolyai dan Lobachevsky dalam buku mereka geometri non-euclid. Tetapi yang dianggap pelopornya adalah Peano dan More dari Amerika Serikat, sedangkan Hilbert yang paling berpengaruh.

    Sebuah sistem matematika diawali dengan perangkat aksioma. Sejak awal abad ke-19 dikehendaki adanya persyaratan baku untuk suatu perangkat aksioma.

    Persyaratan ini adalah konsistensi, independensi, dan kategoris. Agar syarat-syarat rigor dipenuhi, banyaknya term tak didefinisikan harus diminimalkan.

    Perangkat aksioma dikatakan konsisten jika tidak ada jalan logis yang mendeduksi kontradiksi di antara proposisi-proposisi yang dihasilkan. Dikatakan independen jika setiap proposisi dalam perangkat aksioma tidak dapat dideduksi dari proposisi-proposisi lainnya dalam perangkat itu. Dikatakan kategoris jika dapat dibentuk isomorphisma dari himpunan-himpunan yang disajikan secara aktual dari perangkat aksioma.

    Peran Logika dalam Sistem Matematika

    Pythagoras mengusulkan adanya konsep untuk ‘bukti’ yang baku dan jelas dan disetujui oleh semua pakar. Aristoteles menyusun hukum dasar logika yang pertama kali. Ternyata hukum dasar itu identik dengan perangkat aksioma. Term tak didefinisikan dalam aksioma disebut kata primitif dalam logika. Dengan sistem aksioma dalam geometri Euclid, diubah oleh Lobachevsky dan Bolyai, maka kemudian ada maksud mengembangkan logika modern. Russell dan Whitehead telah berhasil menyusun membangun hukum dasar logika modern. Dalam sistemnya mereka memasukkan kata-kata atau, dan, negasi dan sebagainya. Hukum dasar Aristoteles dipandang hanya berlaku untuk semesta tertentu. Hukum dasar logika modern bersifat semesta. Artinya semua matematika dan sains dapat menggunakan hukum dasar logika modern guna menarik kesimpulan, dan tidak tergantung jenis logika yang digunakan. Ternyata baik aksioma matematika maupun hukum dasar logika adalah variabel. Lucasiewics berjaya menyusun sistem logika modern. Keuntungannya tidak perlu lagi menggunakan tabel-tabel matriks nilai kebenaran untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran komponennya. Dan dapat langsung untuk sebarang nilai kebenaran komponen-komponennya.

    Russell menganggap matematika adalah cabang logika (logistik), Hilbert memandang logika adalah cabang matematika (formalis). Brouwer tidak menyetujui kedua-duanya dan mengatakan setiap keberadaan matematika harus ada jalan mengkonstruksinya (intuisionis). Ini yang kemudian menjadikan suasana bimbang dan tidak pasti.

    Sifat Kebenaran Matematika

    Teori sains empiris, misalnya fisika atau psikologi, dikatakan benar sejauh teori itu cocok dengan bukti empiris atau kenyataan luar. Matematika tidak demikian. Kebenaran matematika tidak ada sangkut pautnya dengan bukti empiris. Kebenaran matematika diperoleh dari makna kata-kata yang terkandung dalam proposisi yang bersangkutan.

    Karena dalam sistem matematika diawali dengan perangkat aksioma dan teori-teori matematika diturunkan secara logis (dengan perangkat logika yang telah ditetapkan) dari aksioma, kebenaran matematika disebut kebenaran kondisional.

    Kebenaran perangkat aksioma bukanlah self-evident truth, dan bukan pula sains empiris paling umum. Kebenaran matematika adalah kebenaran apriori, sedangkan kebenaran sais empiris adalah postteori yakni teori itu benar selama masih cocok dengan fakta aktual, atau sampai ada bukti lain yang menolaknya.

    Sistem Aksioma Peano sebagai Basis Matematika

    Aksioma Peano adalah sebuah contoh sistem aritmetika postulatsional. Aksioma Peano sangat mengagumkan. Perangkat aksioma ini terdiri dari 5 postulat dengan definisi rekursif (maju atau mundur) bilangan-bilangan alam, misalnya 4 = 3´ = (2´ )´ = ((1´ )´ )´ = (((0´ )´ )´ )´ ,. Atau 0´ = 1, 1´ = 2, 2´ = 3, dst. P4 membatasi bahwa setelah bilangan 0 tidak dapat mundur lagi. Dengan menambahkan definisi jumlah D1(a), (b) dan definisi kali D2(a) dan (b), maka dapat dibuktikan sifat-sifat operasi assosiatif, komutatif, dan distributif untuk kedua operasi yang didefinisikan.

    Dengan mendefinisikan bilangan positif, negatif, rasional, dan kompleks dengan cara-cara yang sesuai hanya dengan mengambil term-term primitif yang termuat dalam aksioma, semua sistem bilangan memenuhi aksioma. Demikian pula fungsi aljabar seperti fungsi kontinu, limit, kalkulus dsb. Dengan hasil ini maka dikatakan bahwa aksioma Peano merupakan basis matematika.

    Kebenaran Konsep-konsep dalam Matematika

    Aksioma Peano memuat tiga term tak didefinisikan: ’0′, ‘bilangan’, dan ‘pengikut’ dan 5 buah aksioma. Term-term tak didefinisikan dapat diberi makna biasa, dan secara teoretis dalam takhingga cara. Tetapi makna biasa ini harus mengubah kelima aksioma menjadi proposisi-proposisi yang bernilai benar. Selanjutnya dapat diciptakan definisi kata-kata baru dari term-term yang telah diberi makna biasa itu. Syaratnya definisi ini harus menjadi proposisi yang bernilai benar. Dari definisi dan aksioma dalam makna biasa akan diperoleh teori-teori melalui deduksi logis. Dengan demikian teori yang telah diperoleh dengan makna biasa ini menjadi sistem matematika yang letak kebenarannya ada pada definisi-definisi itu.

    G. Frege, Russell dan Whitehead telah secara rinci memberi makna biasa dari term-term tak didefinisikan Peano dan membuat definisi-definisi dengan teknik lambang logika. ‘Bilangan 2′ dalam primitif Peano adalah kosong dari arti. Bilangan 2 adalah makna ‘biasa’. Bilangan alam 2 (biasa) adalah ciri khas dari koleksi himpunan-himpunan C terdiri dari objek-objek, yakni n(C) = 2. Bilangan 2 didefinisikan sebagai berikut: “Terdapat objek x dan objek y sedemikian rupa sehingga (1) x C dan y C, (2) x y, (3) Jika z C adalah sebarang anggota di C, maka z = x atau z = y” Dari definisi ini kita dapat menyimpulkan bahwa n(C) = 2 dengan pertolongan logika.

    Kebenaran Matematika dalam Sains Empiris

    Tiga term primitif Peano adalah ’0′, ‘bilangan’, dan ‘pengikut’, dapat diinterpretasikan dengan makna biasa dengan banyak cara. Misalnya, primitif ‘bilangan’ diartikan bilangan alam 0, 1, 2, 3, … Primitif dalam makna biasa ini didefinisikan melalui konsep-konsep logika (ada 4 konsep pokok). Ternyata aksioma-aksioma Peano, melalui deduksi, menjadi proposisi-proposisi. Selanjutnya jika perlu diteruskan dengan membuat definisi-definisi non-primitif melalui prinsip-prinsip logika. Dengan cara ini seluruh teori matematika dapat dideduksi dengan menggunakan konsep-konsep logika dan jika diperlukan ditambahkan ‘aksioma pilihan’ dan ‘aksioma infinit’. Dari kenyataan ini maka timbullah pemikiran bahwa matematika adalah cabang logika. Akibat selanjutnya ialah bahwa kebenaran matematika terletak pada definisi-definisi itu. Inilah letak kebenaran aksioma Peano dalam makna biasa. Berbeda dengan teori geometri, geometri dipandang sebagai studi tentang struktur ruang fisik, maka primitif-primitifnya harus dibangun dengan mengacu pada entitas fisik jenis tertentu. Jadi, dengan demikian kebenaran teori geometri dalam interpretasi ini terletak pada persoalan empiris.

    Tentang kegunaan matematika dalam sains empiris, harus dilihat dengan telaah lebih mendalam. Sebagian terbesar perkembangan sains empiris (IPA dan IPS) telah diperoleh melalui penerapan terus menerus proposisi-proposisi matematika. Akan tetapi perlu diingat, bahwa fungsi matematika di sini bukan memprediksi, melainkan sebagai analisis atau ekspliaktif. Matematika membuka asumsi-asumsi secara eksplisit atau membuka asersi-asersi yang termuat dalam premis-premis argumen. Matematika membuka data, yakni, mana yang diketahui dan mana yang dipersoalkan. Jadi, penalaran matematis dan logis adalah teknik konseptual membuka perangkat premis-premis yang implisit menjadi premis-premis yang eksplisit.

    Landasan dan Paradoks dalam Matematika

    Krisis landasan dalam matematika selalu diawali dengan munculnya paradoks atau antinomi dalam matematika.

    Krisis I. Pada abad ke-5 SM, muncul paradoks bahwa ukuran sama jenis (dalam geometri) adalah proporsional. Konsekuensi dari paradoks ini menjadikan semua ‘teori proporsi’ model Pythagoras dicoret dan dinyatakan salah. Krisis ini tidak segera di atasi dan baru sekitar 500 tahun kemudian oleh Eudoxus dengan penemuannya bilangan rasional pada tahun 370 SM.

    Krisis II. Pada abad ke-17, Newton dan Leibniz menemukan kalkulus. Hasil ini sangat diagungkan karena penerapannya yang gemilang, dengan konsepnya ‘infinitesial’. Malangnya, hasil-hasil penerapannya justru digunakan untuk menjelaskan landasannya. Krisis ini dapat diatasi pada abad ke-19 oleh Cauchy dengan memperbaiki konsep kalkulus melalui konsep ‘limit’. Dengan aritmetisasi oleh Wierstrass, krisis landasan II telah diatasi.

    Abad ke-19 Cantor menemukan teori himpunan. Teori ini disambut antusias oleh para matematikawan dan teori himpunan telah menjadi landasan cabang-cabang matematika. Burali Forti, Bertrand Russel mengajukan paradoks-paradoks dalam teori himpunan. Misalnya H = {x | x H}, yakni, H adalah himpunan semua x sedemikian sehingga x H. Sampai sekarang krisis belum dapat diatasi. Melalui filsafat (yang selalu mencari sesuatu yang hakiki) dilakukan program-program mengatasi krisis. Ada tiga kelompok besar yang ingin mengatasi krisis ini, yang memunculkan tiga aliran: logistis, formalis, dan intuisionis.

    Macam-macam Aliran dalam Membangun Landasan

    Krisis landasan matematika, terutama yang berlandaskan teori himpunan dan logika formal, memaksa para matematikawan mencari landasan filsafat yang ingin mengonstruksi seluruh massa matematika yang besar, sehingga dapat diperoleh landasan yang kokoh. Mereka terpecah ke dalam tiga aliran besar filsafat matematika: logistis, intuisionis, dan formalis.

    Kaum logistis dengan pimpinan Bertrand Russell dan Whitehead, menganggap bahwa sebagai konsekuensi dari programnya, matematika adalah cabang dari logika. Oleh karena itu, seluruh matematika sejak zaman kuno perlu dikonstruksi kembali ke dalam term-term logika. Hasil program ini adalah karya monumental “Principia Mathematica”. Dalam buku ini hukum ‘excluded middle’ dan hukum ‘kontradiksi’ adalah ekuivalen. Kesulitan timbul salam usaha mereka merakit beberapa metode kuno untuk menghilangkan aksioma reduksi yang tidak disukai.

    Kaum intuisionis dengan pimpinan Brouwer, menganggap, sebagai konsekuensi dari programnya, bahwa logika adalah cabang dari matematika. Matematika haruslah dapat dikonstruksi seperti bilangan alam dalam sejumlah langkah finit. Mereka menolak hukum ‘excluded middle’ jika akan diberlakukan untuk langkah infinit. Heyting membangun perangkat logika-intuisionis dengan lambang-lambang yang diciptakannya. Kesulitan yang timbul adalah berapa banyak keberadaan matematika dapat dibangun tanpa tambahan (perangkat logika) yang diperlukan.

    Kaum formalis dengan pimpinan Hilbert menganggap bahwa matematika, sebagai konsekuensi dari programnya, adalah sistem lambang formal tanpa makna. Untuk mengonstruksi seluruh matematika yang telah ada, diperlukan ‘teori bukti’ untuk menjamin konsistensinya. Dengan lambang-lambang formal kaum formalis menghasilkan karya monumentalnya “Grunlagen der Mathematik:”, jilid I dan II. Malangnya, K. Godel, matematikawan Italia menunjukkan bahwa konsistensi suatu perangkat aksioma karya Hilbert ‘tak dapat ditentukan’, bahkan sebelum buku Hilebrt II diterbitkan.

    John von Neumann (1903 – 1957)

    John von Neumann termasuk salah satu matematikawan abad 20. Seperti kebanyakan matematikawan yang lain ia pun berkontribusi penting baik dalam matematika maupun dalam sains. Von Neumann khususnya tertarik pada permainan strategi dan peluang. Jadi tidak mengejutkan apabila ia adalah salah seorang yang membuka bidang matematika baru yang disebut game theory (teori permainan). Dengan menggunakan peluang yang terlibat dalam peluang strategi dan ia membuat strategi yang menghasilkan “pemenang” dalam permainan pembuatan keputusan, teori permainan von Neumann dapat menyelesaikan masalah-masalah dalam ekonomi, sains, dan strategi militer.

    Von Neumann dilahirkan di Budapest, Hongaria. Ketika berusia 6 tahun, ia mampu melakukan operasi pembagian seperti 78.463.215: 49.673.235 di luar kepala. Pada usia 8 tahun ia telah memperoleh master dalam kalkulus dan mempunyai trik tertentu mengingat dalam sekali pandang terhadap nama, alamat, dan nomor telepon dalam satu kolom buku telepon. Ketika berusia 23 tahun ia menulis sebuah buku berjudul Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, yang digunakan dalam pengembangan energi atom.

    Pada tahun 1930, von Neumann hijrah ke Amerika Serikat untuk memangku jabatan guru besar dalam fisika-matematika pada Universitas Princeton. Ia menjadi berminat dalam penggunaan komputer berskala besar dan ia salah satu pembangun otak elektronik modern, yang disebut MANIAC (Mathematical Analyzer, Numerical Integrator and Computer). Sebagai penasihat selama Perang Dunia II, ia memberi kontribusi dalam mendisain senjata dan peluru nuklir.

    Von Neumann mempunyai banyak minat intelektual, namun kebanggaan terbesarnya adalah menyelesaikan masalah. Suatu ketika ia menjadi begitu berminat adalah sebuah masalah ketika dalam perjalanan ia ingin menelepon istrinya untuk mencari tahu mengapa ia melakukan perjalanan. Karena kemampuan von Neumann menyelesaikan masalah, cakrawala matematis kita telah makin luas.

    Geometri Aksiomatis dan Empiris

    Geometri Aksiomatis

    Kebenaran hipotesis atau teorema dalam sains empiris hanya untuk ‘sementara waktu’, atau ‘sampai ditemukan ketidakcocokannya dengan data empiris baru’. Sebaliknya kebenaran dalam matematika, sekali dibangun ‘untuk selama-lamanya’. Kebenaran matematika dapat dipahami melalui analisis metode bagaimana matematika itu dibangun. Metode demikian adalah demonstrasi-matematis yang terdiri dari deduksi logis dari aksioma atau suatu teorema yang dideduksi dari teorema-teorema yang telah terlebih dahulu dibuktikan kebenarannya. Agar langkah mundur ini tidak berkesudahan, maka harus ada proposisi yang diterima tanpa bukti, yang disebut perangkat aksioma atau postulat.

    Dalam geometri khususnya ternyata perangkat aksioma Euclid tidak cukup, artinya ada teorema-teorema yang tidak dapat dibuktikan secara langsung melalui deduksi logis postulat-postulatnya. Dalam buku Euclid, suatu teorema kadang-kadang dibuktikan dengan menggunakan intuisi hubungan geometri, misalnya gambar dan pengalaman dengan benda tegar. Ketidak-cukupan ini oleh Hilbert ditambah dengan postulat ‘terletak’ dan ‘antara’. Postulat kesejajaran Euclid terbukti tidak dapat dideduksi dari postulat-postulat lainnya. Hal ini menggelitik para pakar untuk ‘mengganti’ postulat ini dengan postulat yang lain. Hasilnya, Lobachevsky dan Bolyai menemukan geometri hiperbolik sedangkan Riemann menemukan geometri eliptik, kedua-duanya dikategorikan sebagai geometri non-euclid.

    Kepastian matematis dikatakan relatif terhadap perangkat aksioma yang mendasarinya tempat diturunkannya suatu teorema, dan dikatakan perlu karena teorema-teorema sebenarnya hanyalah secara implisit telah terkandung dalam perangkat postulat itu. Oleh karena perangkat postulat tidak mengacu kepada data empiris, maka sebagai konsekuensinya, teorema-teorema pun tidak mengacu kepada data empiris. Dan Anda juga tahu bahwa kebenaran suatu aksioma adalah apriori, sebuah kebenaran yang diperoleh dari kata-kata yang dikandungnya.

    Geometri murni adalah geometri yang dikembangkan melalui metode formal murni (aksiomatis). Geometri ini sama sekali tidak berkaitan dengan material fisik khusus. Postulat-postulat ditetapkan dan teorema-teorema diperoleh melalui deduksi logis menggunakan logika formal, dan analisis konsep, kosong dari arti. Kebenarannya adalah persis (pasti dan perlu). Adanya nama-nama seperti titik, garis, dan sebagainya. yang sama dengan nama-nama fisik hanyalah kebetulan saja.

    Geometri dalam sejarah perkembangannya memang merupakan generalisasi dari pengalaman empiris dalam berbagai praktik keteknikan sederhana. Oleh karena itu, juga sering disebut sebagai teori struktur ruang fisik, atau geometri fisik. Geometri fisik dapat diperoleh melalui interpretasi semantik, yakni, pemberian makna khusus, designatum, kepada primitif-primitif yang harus memenuhi semua perangkat aksioma dalam geometri murni. Akibatnya semua geometri murni menjadi teorema yang bermakna – pernyataan fisik dan sepenuhnya terhadap teorema-teorema di dalamnya dapat dimunculkan sifat benar-salah. Jadi interpretasi semantik kepada primitif ke dalam makna khusus ini akan mengubah geometri murni menjadi geometri fisik. Term ‘segitiga’ adalah term dalam geometri murni, sedangkan term ‘daerah segitiga’ adalah term dalam geometri fisik. Term-term ‘persegi kertas’, ‘persegi kerangka’ adalah term-term dalam geometri fisik. Demikian pula luas daerah lingkaran adalah kali kuadrat jari-jari adalah teorema dalam geometri fisik.

    Jika geometri fisik digunakan menyelesaikan masalah yang terkait dengan pengalaman sehari-hari dan kemudian ada ketidakcocokan, maka ketidakcocokan ini harus dicari dari situasi fisiknya. Masalah ini dinamakan konvensi Poincare. Penalarannya adalah sebagai berikut. Jika geometrik fisik G akan diuji kebenarannya, maka pengujian itu tentu melibatkan benda (sains) tertentu P (misalnya pengukuran atau observasi sistematik). Hasil ujinya adalah konfirmasi G-P, dan bukan hanya G sendiri. Jika hasil amatan ternyata tidak cocok, maka yang perlu divalidasi adalah P dan bukan G.

    Apakah ruang fisik berstruktur euclid atau non-euclid, hanyalah masalah konvensi saja. Poincare selalu mengambil geometri euclid sebagai struktur ruang fisik, tetapi ketika Einstein mengambangkan teori relativitas umumnya, ia mengambil geometri-eliptik (non-euclid) sebagai struktur ruang fisik.

    Matematika sebagai Metode dan Seni

    Walaupun tidak sempurna, matematika aksiomatis dibuka oleh geometri Euclid pada abad ketiga. Peano membuat aksioma yang mula-mulanya untuk bilangan alam. Aksioma ini berbuah lebat. Hilbert menyempurnakan aksioma Euclid. Perangkat aksioma harus memenuhi syarat tertentu antara lain: (a) terdiri dari kata-kata yang kosong dari arti (primitif), (ii) banyaknya primitif harus minimal, (iii) perangkat primitif harus konsisten, dan independen. Teorema-teorema dideduksi secara logis dengan menggunakan logika formal. Dengan metode langkah-langkah seperti itu maka muncul matematika baru yang disebut sistem matematika. Karena itu geometri dapat dipandang sebagai sebuah metode (metode membangun karya matematis).

    Dalam geometri murni, term-term primitif kosong dari arti. Teorema-teorema dideduksi secara logis menggunakan logika formal. Teorema-teorema pun kosong dari arti. Kebenaran teorema-teorema ini adalah kondisional.

    Dalam geometri fisik atau orang awam menyebutnya geometri empiris, perangkat aksioma diambil dari geometri murni dengan cara memberi makna fisik untuk term-term primitif. Teorema-teorema kemudian juga mengandung makna fisik. Sekarang perangkat aksioma dan teorema-teorema dalam geometri fisik bernilai benar.

    Untuk pengembangan teorema-teorema matematikawan memiliki daya imajinasi, abstraksi, inspirasi, dan kreativitas, yang pada umumnya juga berdasarkan pengalaman.

    Sekarang kita kembali ke pertanyaan awal kita. Apakah matematika itu? Kita mampu mengatakan bahwa dalam nurani manusia, suatu kehidupan, selalu berubah, entitas eksklusif, terdapat unsur-unsur yang menghasilkan seni dan pengetahuan. Jika kita pelajari apa yang mereka hasilkan, kita dapati bahwa yang dihasilkan itu disebut keindahan, dan memuat unsur-unsur yang dapat kita pandang baik dari sisi dinamika kehidupan sebagai unsur-unsur dalam suatu struktur jika dipandang oleh seniman, atau kita dapat melihat hasilnya dari sisi statis, sebagai pengetahuan, dan menamakannya: ritme (irama) order (urutan), disain (rancang bangun), dan harmoni (laras). Matematika adalah, pada sisi statis, suatu kreasi ritme, order, disain, dan harmoni baru, dan pada sisi pengetahuan, adalah studi sistematik dari berbagai ritme, orde, disain, dan harmoni. Kita dapat meringkasnya ke dalam pernyataan bahwa matematika adalah, pada studi kualitatif dari struktur keindahan, dan pada sisi lain adalah kreator dari bentuk-bentuk artistik baru dari keindahan, Matematikawan adalah sekaligus kreator dan pengkritik, tentu saja, tidak selalu pada orang yang sama. Yang sangat terkenal sebagai kreator besar adalah Sylvester, Kleine, dan Poincare, dan mereka ini tidak terlalu tertarik dari sisi kritik. Sedangkan dari sisi kritik terkenal nama-nama kritikus unggul Cayley, Hilbert, dan Picard. Sylvester tidak pernah tahu bahan apa yang akan diberikan dalam perkuliahannya. Kleine dalam situasi putus asa terhadap Hilbert dengan kekhilafannya mengenai kreasi intuitif, dengan menggunakan sebarang medium untuk ekspresi yang akan memenuhi angan-angannya. Poincare selalu menyerang tentang pekerjaannya mengenai intuisi mata. Namun dalam semua matematikawan besar mulai dari Pythagoras sampai Poincare kita dapati karakter seniman yang dikombinasikan dalam berbagai derajat dengan karakter kesarjanaan.

    Kita dapat juga menjawab pertanyaan yang kedua: Mengapa matematika itu hanya menarik sedikit orang? Mary Austin dalam bukunya “Everyman’s Genius” mengajak semua para artis yang kreatif untuk belajar matematika tinggi, hal yang sama dianjurkan oleh Havelock Ellis. Bukan semata-mata tentang keterlibatan sifat kesarjanaan, bukan keingintahuan besar yang dipromosikan, tetapi untuk imajinasi tingkat tinggi yang diperlukan, untuk membangun pendalaman artistik yang tajam. Jika, misalnya, meskipun orang hanya belajar dalam bidang-bidang bilangan aljabar yang superkuadratik, yang mempunyai grup berorder 2N, akan mempelajari sesuatu yang baru tentang keindahan. Jika ia hanya belajar bidang-bidang bangun aljabar simetrik ia akan dipercantik oleh keindahan yang elegan. Aljabar determinan adalah kebun yang elok, terbuka pada setiap sisinya, seperti dapat dilihat dalam risalat Metzler. Jika orang mendapat teorema baru dalam geometri segitiga, ia akan terkejut dengan keindahannya. Hanya mengetahui transversal dari suatu segitiga, misalnya, dengan mengetahui titik-titik Brocard dan lingkaran Brocard, lingkaran Lemoine, lingkaran titik-sembilan dari Feuerbach, lingkaran-lingkaran Tucker, garis-garis isotomik, garis-garis isogonal dan lain-lain bangun, akan membawa keindahan baru pada imajinasi. Dalam teori bilangan teorema terakhir Fermat menunggu buktinya, dan akan mendapat mahkota kemuliaan bagi seseorang yang memberikan bukti. Aljabar-aljabar divisi Dickson menghiasi setiap realm (dunia akal) yang menarik dan dapat menguntungkan bagi teorema-teorema baru. Daftar demikian dapat diperpanjang tanpa akhir.

    Banyak matematikawan telah menjadi seniman dengan cara lain-lain. Ada yang menulis puisi, lainnya mengomposisi musik. Inkuiri yang dipimpin oleh kegiatan matematikawan beberapa tahun lampau didapati bahwa kebanyakan dari mereka dengan serius tertarik dalam suatu phase seni. Dan kebanyakan dari mereka dilaporkan bahwa penemuan-penemuan atau kreasi-kreasi mereka datang tepat seperti yang dialami para seniman mendapat inspirasi dengan cara lain. Matematikawan adalah pemimpi, dan dalam impiannya yang ilusif datang dan pergi; timbul dan tenggelam, dan lenyap; menggelinding kembali pada momen yang tidak diharapkan, tetapi terlepas dari genggaman yang akan menahannya; muncul lagi dalam tarian yang janggal, dan bermain dalam warna fantasi; lenyap; dan suatu hari melangkah pergi menggandeng tangan yang telah menantinya, dengan bilangan ideal Kummer sebagai hadiah. Matematikawan bermimpi dan dalam kekisruhannya yang kalut, bunga yang jujur dalam bentuk fantasi mekar dan hilang; angin sepoi-sepoi menggerayanginya dengan kilasan burung-burung masa kini dan seterusnya; dan matematika baru telah lahir, aljabar asosiatif linear oleh Benjamin Peirce. Inilah tanah yang kaya, dan kota, seperti “Metropolis of Tomorrow”nya Hugh Ferris, yang dalam kata-kata Tennyson, “membangun musik, maka yang sesungguhnya sama sekali tidak pernah membangun, dan karena itu selalu membangun”. Inilah dunia yang mengetahui tidak ada hukum kedua dari termodinamika, dunia yang menjamin bagi orang-orang yang memang dasarnya kreatif, keabadian waktunya, dan juga ketidakkekalannya

(Sumber buku Hakikat dan Sejarah Matematika Karya Sukardjono,

https://m.facebook.com/notes/dunia-matematika/sejarah-perkembangan-matematika/217020314975045/  )

Walaupun Halaman ini cuma COPAS semoga bermanfaat Aminn..! Selamat membaca

APLIKASI LOGIKA DALAM JARINGAN LISTRIK

           Misalkan p, q, ... menyatakan saklar listrik, dan misalkan  p dan  ∼p menyatakan saklar listrik dengan sifat bahwa salah satu diantaranya tersambung (on) maka yang satu lagi terputus (off). Dua saklar katakanlah p dan q, dapat dihubungkan oleh kawat  dalam kombinasi seri atau kombinasi paralel sebagai berikut :

Dalama Hubungan Seri, Listrik akan mengalir hanya jika kedua saklar tersambung.  Listrik tidak akan mengalir jika salah satu atau kediua saklar terputus. Dalam hubungan paralel, listrik tetap akan mengalir jika salah satu p atau q tersambung, atau keduanya tersambung.  Listrik tidak akan mengalir jika kedua saklar p dan q terputus.

simbol p  Λ  q menyatakan bahwa p dan q dihubungkan seri, sedangkan p V q menyatakan bahwa p dan q dihubungkan paralel. simbol 1 untuk menyatakan listrik mengalir(saklar tersambung), sedangkan simbol 0 untuk menyatakan bahwa tidak ada aliran listrik(saklar terputus).

Berikut ini disajikan beberapa jaringan listrik dan kebenaranya :

a. Hubungan seri

    

p	q	p Λ q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

b. Hubungan Paralel

p	q	p V q
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Contoh :

1. Tentukan pernyataan yang sesuai dengan jaringa listrik berikut :

    Pemecahan :     { ( p Λ q ) V r V ( ~p Λ q ) } Λ  p 2. Gambarkan jaringan listrik berdasarkan pernyataan pernyataan  berikut :      { (p Λ q ) V ~p V ( p Λ ~r) } Λ ( q Λ r )      pemecahan :

     

3. Gambarkan dan sederhanakan jaringan listrik dari pernyataan :

     ( p Λ q ) V ( p Λ ~q ) V ( ~p  Λ ~q)

     pemecahan :

   

        ( p Λ q ) V ( p Λ ~q ) V ( ~p  Λ ~q)

      = { p Λ ( q V  ~q) } V ( ~p  Λ ~q) 

      = ( p Λ 1) V  ( ~p  Λ ~q) 

      = p V ( ~p  Λ ~q) 

      =  ( p  V ~p) Λ ( p  V ~q)

      = 1 Λ ( p  V ~q)

      =  ( p  V ~q)

Jadi jaringan listrik yang lebih sederhana :

Download e-book aplikasi logika dalam jaringan listrik + soal disini..!